Intégration par parties

L’intégration par parties sert à trouver une primitive d’une fonction qui se présente sous la forme d’un produit.

Démonstration de la formule

Nous partons de la formule de dérivation d’un produit.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Supposons donc que u et v soient dérivables sur un intervalle J, c’est-à-dire que u′ et v′ existent. Intégrons maintenant les deux membres. On obtient :

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Dans le membre de gauche, on peut supprimer l’intégrale et la dérivée : si l’on dérive une fonction puis qu’on l’intègre, on retrouve la fonction de départ (à une constante c près).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Isolons l’intégrale où figure la dérivée de la fonction v :

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

La fonction $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ est donc une primitive de la fonction u · v′. C’est ce que nous allons utiliser.

Premier exemple

Sur un exemple, voyons comment utiliser la méthode d’intégration par parties. Calculons l’intégrale

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

Ce type d’exemple ne se résout pas avec les moyens présentés dans l’article de base sur les intégrales. Comme la fonction donnée est un produit, nous allons utiliser l’intégration par parties.

Dans la formule

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

il y a deux fonctions u et v, que nous devons choisir convenablement. Que nous demande-t-on au juste ? D’après la formule précédente, nous savons calculer l’intégrale $\int u\cdot v^{\prime }$. Or l’énoncé ne contient rien de tel : on y a x · cos x, et nulle part la dérivée de v que réclame la formule. Il faut donc décomposer la fonction x · cos x en un produit de deux fonctions. Nous déclarons que l’une sera u et l’autre v′.

Le bon choix est très important, car avec un mauvais choix on complique plutôt le calcul. Regarde ce que nous obtenons dans le membre de droite avec la formule précédente. Le terme u · v ne posera pas de problème, mais il faudra calculer l’intégrale $\int u^{\prime }\cdot v$. Il faut donc savoir dériver la fonction u et trouver une primitive de la fonction v′.

Choisissons les fonctions ainsi :

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

Nous avons ainsi obtenu le membre de gauche, puisqu’il contient dans l’intégrale exactement le produit u · v′. Dans le membre de droite, on a ensuite le produit u · v et une autre intégrale. Il faut donc calculer u′ et v. La dérivée de u est simple :

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Il faut maintenant calculer v à partir de v′, c’est-à-dire trouver une primitive de v′. Répétons-le : nous avons choisi v′ = cos x. Mais dans le membre de droite, on travaille avec la valeur de v, sans dérivée. Autrement dit, si l’on dérive le v qui figure dans l’intégrale du membre de droite, on doit retrouver exactement le v′ choisi dans le membre de gauche. Nous cherchons donc une fonction dont la dérivée est cos x. Autrement dit, nous intégrons v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\sin x$$

Notons dans un tableau ce que nous connaissons déjà :

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\sin x\end{array}\right]$$

Remplaçons à l’aide de ce tableau dans la formule

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

ce qui donne :

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x$$

Nous avons réussi à transformer l’intégrale en une autre, que nous résoudrons plus facilement. Nous ne modifierons plus l’expression x · sin x ; il reste seulement à calculer l’intégrale de droite. C’est une primitive usuelle toute simple :

$$\int \sin x\text{ d}x=-\cos x+c$$

Nous pouvons donc écrire que

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \sin x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \sin x+\cos x+c\end{array}$$

Voilà le résultat.

Un mauvais choix de fonctions

Sur ce même exemple, voyons ce qui se passerait si nous choisissions autrement les fonctions u et v′. Tout à l’heure, nous avions choisi

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

essayons donc maintenant dans l’autre sens :

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

Calculons u′ et v. On obtient :

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

Cherchons maintenant une primitive de v′ :

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Notons-le dans un tableau :

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\sin x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Remplaçons dans la formule :

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$$

On voit que cela ne nous a pas beaucoup aidés. Dans l’énoncé, on a l’intégrale de x · cos x, et l’intégration par parties nous a conduits à l’intégrale de $-\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$. Ce n’est pas la bonne voie.

Comment choisir les fonctions u et v'

Malheureusement, il n’existe pas de règle universelle : il faut un peu de flair. Cela aide aussi de regarder ce que l’on fera ensuite avec ces fonctions. La formule de base dont nous partons est la suivante :

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Si l’on intègre une fonction f qui est un produit, on essaie de la décomposer en fonctions u et v′ telles que f = u · v′. Le but de l’intégration par parties est que l’intégrale de droite $\int u^{\prime }\cdot v$ soit plus simple que celle de gauche. Le terme u · v ne nous intéresse guère : il peut être aussi compliqué qu’on veut.

Pour que l’intégrale de droite soit plus simple, il est judicieux de choisir pour u une fonction qui se simplifie quand on la dérive. Il s’agit typiquement des fonctions du type xⁿ, dont le degré baisse d’un cran à chaque dérivation. Par exemple, de x² on obtient 2x et de x on obtient 1, ce qui est tout à fait idéal.

À l’inverse, pour v′, on essaie de prendre une fonction dont la primitive ne sera pas plus compliquée. On ne peut généralement pas s’attendre à ce que l’intégration de v′ donne une fonction plus simple, mais on peut espérer une fonction à peu près aussi compliquée. Il s’agit typiquement du sinus et du cosinus, car l’un s’intègre en l’autre, ce qui ne nous gêne pas.

Deuxième exemple

Essayons un exemple plus compliqué :

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

La primitive de la fonction e^x est encore e^x, c’est donc un candidat idéal pour l’intégration. À l’inverse, la dérivée de x² est 2x, une expression plus simple. Choisissons donc les fonctions ainsi :

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

Le tableau complet est le suivant :

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Remplaçons dans la formule :

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Nous avons obtenu une intégrale plus simple, mais nous ne sommes pas encore capables de la calculer complètement. Faisons un deuxième tour d’intégration par parties. Nous calculons donc maintenant l’intégrale suivante :

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Le procédé est le même qu’à l’étape précédente. Choisissons les fonctions ainsi :

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

On obtient :

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

On sort le nombre 2 de l’intégrale :

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

Et la primitive de e^x est encore e^x :

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Nous reportons ce résultat dans l’égalité précédente :

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Après remplacement, on obtient :

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Il ne reste qu’à mettre le résultat sous une forme plus agréable. On commence par supprimer la parenthèse en multipliant son contenu par −1, puis on factorise e^x :

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

Et voilà le résultat.

Primitive du logarithme

C’est un grand classique de l’intégration par parties. Voici l’énoncé de cette intégrale légendaire :

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Ce qui est curieux dans cette intégrale, c’est que, bien qu’il n’y ait aucun produit, nous allons la résoudre par parties. Très simplement : on multiplie le logarithme par un. Cela ne change pas la fonction que l’on intègre, mais fait apparaître une multiplication.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Comment choisir les fonctions u et v′ ? Nous ne savons pas encore intégrer la fonction ln x (c’est justement sa primitive que nous cherchons), donc nous allons dériver le logarithme et intégrer le un. On en déduit :

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

La dérivée du logarithme est 1/x :

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

et la primitive de un est x :

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Complétons le tableau :

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

Et remplaçons dans la formule :

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Calculons l’intégrale du membre de droite :

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Nous obtenons ainsi le résultat :

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+c$$