Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

Η ολοκλήρωση κατά παράγοντες χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να βρούμε την παράγουσα μιας συνάρτησης που έχει μορφή γινομένου.

Εξαγωγή του τύπου

Η εξαγωγή βασίζεται στον κλασικό τύπο για τις παραγώγους.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Έστω λοιπόν ότι έχουμε τις συναρτήσεις u και v και ότι είναι παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα Δ, δηλαδή υπάρχουν οι u′ και v′. Ολοκληρώνουμε τώρα και τα δύο μέλη. Παίρνουμε:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Στο πρώτο μέλος μπορούμε να παραλείψουμε το ολοκλήρωμα και την παράγωγο, επειδή αν παραγωγίσουμε μια συνάρτηση και μετά την ολοκληρώσουμε, παίρνουμε πάλι την αρχική συνάρτηση (με ακρίβεια μέχρι τη σταθερά c).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Απομονώνουμε το ολοκλήρωμα, στο οποίο παραγωγίζεται η συνάρτηση v:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Άρα η συνάρτηση $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ είναι παράγουσα της συνάρτησης u · v′. Αυτό θα το χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια.

Πρώτο παράδειγμα

Με ένα παράδειγμα θα δούμε πώς χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες. Θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

$$\int x\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x\text{ d}x$$

Αυτός ο τύπος παραδείγματος δεν λύνεται με τα συνηθισμένα μέσα που παρουσιάσαμε στο βασικό άρθρο για τα ολοκληρώματα. Επειδή η δοσμένη συνάρτηση έχει μορφή γινομένου, θα χρησιμοποιήσουμε την ολοκλήρωση κατά παράγοντες.

Στον τύπο

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

έχουμε τις συναρτήσεις u και v, τις οποίες πρέπει να επιλέξουμε κατάλληλα. Τι ζητείται λοιπόν τώρα από εμάς – σύμφωνα με τον προηγούμενο τύπο ξέρουμε να υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα $\int u\cdot v^{\prime }$. Στην εκφώνηση όμως δεν έχουμε κάτι τέτοιο, έχουμε x · συν x και πουθενά καμία παράγωγο του v, όπως ζητάει ο τύπος. Πρέπει λοιπόν να γράψουμε τη συνάρτηση x · συν x ως γινόμενο δύο συναρτήσεων. Για τη μία θα πούμε ότι είναι η u και για την άλλη η v′.

Η σωστή επιλογή είναι πολύ σημαντική, γιατί με κακή επιλογή μάλλον θα περιπλέξουμε τη διαδικασία. Δες τι παίρνουμε στο δεύτερο μέλος αν χρησιμοποιήσουμε τον προηγούμενο τύπο. Με την παράσταση u · v δεν θα υπάρξει πρόβλημα, αλλά θα πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα $\int u^{\prime }\cdot v$. Άρα τη συνάρτηση u πρέπει να ξέρουμε να την παραγωγίζουμε και τη συνάρτηση v′ να ξέρουμε να την ολοκληρώνουμε.

Επιλέγουμε τις συναρτήσεις ως εξής:

$$u=x,v^{\prime }=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x$$

Έτσι πήραμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης, αφού μέσα στο ολοκλήρωμα περιέχει ακριβώς το γινόμενο u · v′. Στο δεύτερο μέλος έχουμε το γινόμενο u · v και ένα ακόμη ολοκλήρωμα. Πρέπει λοιπόν να υπολογίσουμε τις u′ και v. Η παράγωγος της u είναι απλή:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Τώρα πρέπει από τη v′ να υπολογίσουμε τη v, δηλαδή να ολοκληρώσουμε τη v′. Ξανά – επιλέξαμε ότι v′ = συν x. Στο δεύτερο μέλος όμως δουλεύουμε με την τιμή v, χωρίς παράγωγο. Δηλαδή αν παραγωγίσουμε τη v που βρίσκεται μέσα στο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους, πρέπει να πάρουμε ακριβώς τη v′ που επιλέξαμε στο πρώτο μέλος. Ψάχνουμε λοιπόν μια συνάρτηση που μετά την παραγώγιση θα είναι ίση με συν x. Με άλλα λόγια – ολοκληρώνουμε τη v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x$$

Γράφουμε σε έναν πίνακα όσα ξέρουμε ήδη:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x\\ u^{\prime }=1,& v=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\end{array}\right]$$

Από αυτόν τον πίνακα αντικαθιστούμε στον τύπο

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

οπότε παίρνουμε:

$$\int x\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x\text{ d}x=x\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x-\int 1\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\text{ d}x$$

Βλέπουμε ότι καταφέραμε να μετατρέψουμε το ολοκλήρωμα σε άλλη μορφή, που λύνεται πιο εύκολα. Την παράσταση x · ημ x δεν θα την επεξεργαστούμε άλλο, απλώς θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα δεξιά. Αυτό είναι πια ένα απλό ολοκλήρωμα του πίνακα:

$$\int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\text{ d}x=-\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x+c$$

Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε ότι

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x\text{ d}x& =& x\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x-\int 1\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x-(-\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)\\ & =& x\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x+\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x+c\end{array}$$

Αυτό είναι το αποτέλεσμα.

Κακή επιλογή συναρτήσεων

Σε αυτό το παράδειγμα θα δείξουμε ακόμη τι θα γινόταν αν επιλέγαμε διαφορετικά τις συναρτήσεις u και v′. Πριν επιλέξαμε

$$u=x,v^{\prime }=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x,$$

οπότε τώρα θα δοκιμάσουμε το αντίστροφο:

$$u=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x,v^{\prime }=x$$

Υπολογίζουμε τις τιμές u′ και v. Παίρνουμε:

$$u^{\prime }=(\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x{)}^{\prime }=-\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x$$

Τώρα ολοκληρώνουμε τη v′:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Τα γράφουμε σε πίνακα:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Αντικαθιστούμε στον τύπο:

$$\int x\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Βλέπουμε ότι δεν βοηθηθήκαμε και πολύ. Στην εκφώνηση έχουμε το ολοκλήρωμα του x · συν x και τώρα με την ολοκλήρωση κατά παράγοντες φτάσαμε στο ολοκλήρωμα του $-\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\cdot \frac{x^2}{2}$. Από εδώ δεν πάμε πουθενά.

Πώς διαλέγουμε τις συναρτήσεις u και v'

Δυστυχώς δεν υπάρχει καθολικός κανόνας, χρειάζεται λίγη διαίσθηση. Βοηθάει επίσης να κοιτάς τι θα κάνεις στη συνέχεια με αυτές τις συναρτήσεις. Ο βασικός τύπος, από τον οποίο ξεκινάμε, είναι ο εξής:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Αν ολοκληρώνουμε μια συνάρτηση f που έχει μορφή γινομένου, προσπαθούμε να την αναλύσουμε σε συναρτήσεις u και v′ ώστε να ισχύει f = u · v′. Στόχος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες είναι το ολοκλήρωμα στο δεύτερο μέλος $\int u^{\prime }\cdot v$ να είναι απλούστερο από το ολοκλήρωμα στο πρώτο μέλος. Η παράσταση u · v δεν μας ενδιαφέρει πολύ, μπορεί να είναι όσο θέλουμε πολύπλοκη.

Για να είναι το ολοκλήρωμα δεξιά απλούστερο, είναι καλό να πάρουμε ως u μια συνάρτηση που απλοποιείται μετά την παραγώγιση. Τυπικά είναι οι συναρτήσεις της μορφής xⁿ, όπου μετά την παραγώγιση ο βαθμός μειώνεται κατά ένα. Για παράδειγμα από το x² παίρνουμε 2x και από το x παίρνουμε 1 – αυτό είναι ιδανικό.

Αντίθετα, ως v′ προσπαθούμε να πάρουμε κάτι που μετά την ολοκλήρωση δεν θα γίνει πιο πολύπλοκο. Συνήθως δεν μπορούμε να περιμένουμε ότι μετά την ολοκλήρωση της v′ θα πάρουμε απλούστερη συνάρτηση, μπορούμε όμως να ελπίζουμε σε περίπου εξίσου πολύπλοκη. Τυπικά είναι το ημίτονο και το συνημίτονο, επειδή το ένα ολοκληρώνεται στο άλλο, κάτι που δεν μας ενοχλεί.

Δεύτερο παράδειγμα

Ας δοκιμάσουμε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

Το ολοκλήρωμα της e^x είναι πάλι e^x, άρα είναι ιδανική υποψήφια για ολοκλήρωση. Αντίθετα, η παράγωγος του x² είναι 2x, που είναι απλούστερη παράσταση. Επιλέγουμε λοιπόν τις συναρτήσεις ως εξής:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

Ολόκληρος ο πίνακας θα είναι:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Αντικαθιστούμε στον τύπο:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Πήραμε απλούστερο ολοκλήρωμα, αλλά ακόμη δεν μπορούμε να το υπολογίσουμε πλήρως. Κάνουμε έναν ακόμη γύρο ολοκλήρωσης κατά παράγοντες. Θα υπολογίσουμε λοιπόν αυτό το ολοκλήρωμα:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Η διαδικασία είναι ίδια με το προηγούμενο βήμα. Επιλέγουμε τις συναρτήσεις ως εξής:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

Και παίρνουμε:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

Τον αριθμό 2 τον βγάζουμε κοινό παράγοντα μπροστά από το ολοκλήρωμα και παίρνουμε:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

Και το ολοκλήρωμα της e^x είναι πάλι e^x:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Αυτό το αποτέλεσμα το αντικαθιστούμε πίσω στην προηγούμενη εξίσωση:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Μετά την αντικατάσταση παίρνουμε:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Και τώρα απλώς θα φέρουμε το αποτέλεσμα σε πιο ευανάγνωστη μορφή. Πρώτα θα φύγει η παρένθεση, πολλαπλασιάζοντας το περιεχόμενό της με −1, και μετά θα βγάλουμε κοινό παράγοντα το e^x:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

Και έχουμε το αποτέλεσμα.

Ολοκλήρωμα του λογαρίθμου

Αυτό είναι ένα αιώνιο κλασικό της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες. Δες την εκφώνηση του θρυλικού ολοκληρώματος:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Το ενδιαφέρον σε αυτό το ολοκλήρωμα είναι ότι, παρότι δεν υπάρχει κανένα γινόμενο, θα το λύσουμε με ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Απλά πολλαπλασιάζουμε τον λογάριθμο με τη μονάδα. Έτσι δεν αλλάζουμε τη συνάρτηση που ολοκληρώνουμε, αλλά εμφανίζεται εκεί ένας πολλαπλασιασμός.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Πώς επιλέγουμε τις συναρτήσεις u και v′; Τη συνάρτηση ln x δεν ξέρουμε ακόμη να την ολοκληρώνουμε (το ολοκλήρωμά της ψάχνουμε ακριβώς), άρα τον λογάριθμο θα τον παραγωγίσουμε. Θα ολοκληρώσουμε τη μονάδα. Έτσι προκύπτει:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

Η παράγωγος του λογαρίθμου είναι 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

και το ολοκλήρωμα της μονάδας είναι x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Συμπληρώνουμε τον πίνακα:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

Και αντικαθιστούμε στον τύπο:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα στο δεύτερο μέλος:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Παίρνουμε έτσι το αποτέλεσμα:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+c$$