Dizinin Limiti

Dizinin limiti, verilen bir dizinin sonsuzda yaklaştığı sayıdır. Dizinin limiti, matematiksel analizde büyük önem taşıyan fonksiyonun limitinin bir tür öncüsüdür.

Limite Kısa Bir Giriş

Dizinin limiti, verilen bir sayı dizisinin sürekli yaklaştığı (ve belki sonunda ulaştığı) sayıdır. En iyisi, $a_n=\frac{1}{n}$ kuralıyla verilen diziyi gösteren bir şekle bakmak:

Şekilde dizinin terimlerinin giderek sıfıra yaklaştığını görüyoruz. n ne kadar büyükse a_n değeri o kadar küçüktür ve sıfıra o kadar yaklaşır. Grafik yatay eksene hiçbir zaman değmez, çünkü 1/n = 0 denklemi hiçbir zaman sağlanmaz (n bir pozitif tam sayı olmak üzere). Yine de dizinin tamamının hangi sayıya yaklaştığını bulmaya değer. Soru şöyle olabilir — n’yi sürekli artırırsak dizinin değeri hangi sayıya yaklaşır? n’yi sonsuza yaklaştırırsak dizinin terimi hangi değeri alır? Limitler tam olarak bunu inceler. Limiti lim komutuyla yazarız. Alt indiste n’nin hangi sayıya yaklaştığı yer alır; dizilerde bu her zaman sonsuzdur. Tüm yazım örneğin şöyle olabilir:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Şöyle okuruz: “n sonsuza yaklaşırken, bir bölü n dizisinin limiti sıfırdır.” Birkaç basit örnek daha verelim: a_n = n dizisinin limiti nedir? Bu basit bir dizidir; a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 vb. Dizinin terimleri sonsuzda hangi sayıya yaklaşacak? n büyüdükçe a_n de büyür, yani limit sonsuzdur.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Muhtemelen a_n = n² dizisinin limitinin de sonsuz olacağını sezgisel olarak anlarsın. Bu dizi öncekinden de hızlı büyür. Buna karşılık $a_n=\frac{1}{2n}$ dizisinin limiti, ilk örnek diziden bile daha hızlı sıfıra yaklaşır.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Dizinin Sonlu Limitinin Tanımı

Dizinin limitini düzgünce tanımlamanın zamanı geldi.

Her ϵ > 0 için tüm n>n₀ değerlerinde |a_n − a| < ϵ sağlanacak biçimde bir n₀ ∈ ℤ⁺ varsa, ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ dizisinin sonlu limiti a’dır (a ∈ ℝ limitine yakınsar, yakınsaktır).

Kullanılan gösterimler şunlardır:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$n\to \mathrm{\infty }\text{ için }{a}_n\to a$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

Tanım güzel, şimdi onu açıklayalım. Bunun için bir dizinin şekline ihtiyacımız olacak; örneğin şu diziyi seçelim:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

Ve grafiği:

Grafikten dizinin beşe yakınsadığını, yani bu dizinin limitinin beş olduğunu rahatça okuyabiliriz. Limit tanımını bu dizi üzerinde göstermeye başlamadan önce grafiğe biraz renk ekleyeyim:

Bu dizinin limitinin beş olduğunu zaten biliyoruz. Tanımın ilk kısmında ϵ>0’dan, yani sıfırdan büyük bir epsilondan söz ediliyor. Epsilon burada limitin komşuluğunu, yani noktanın komşuluğunu temsil eder. Sıfırdan büyüktür, çünkü komşuluk negatif de sıfır da olamaz. Şekilde bu komşuluk, y ekseni üzerindeki yatay yeşil çizgilerle gösterilmiştir. Nokta burada beş değeridir, noktanın komşuluğu da y ekseni üzerindeki o yeşil çizgilerdir. Komşuluk iki yönde, hem yukarı hem aşağı tanımlıdır. Yeşil yatay çizgilerle sınırlanan bu hayali şeride şimdi ihtiyacımız olacak. Şekilde ϵ = 1’dir.

Amacımız, alttaki yatay ekseni iki parçaya bölen bir n₀ sayısı bulmaktır. Üstelik dizinin bu n₀ sayısının sağındaki tüm terimleri bu yeşil şeridin içinde olmalıdır. n₀’ın solundaki sayıların nerede olduğu önemli değildir; bu tanımın geçerli olduğu en küçük n₀’ı aramamız gerekmez. Şekilde n₀ = 12’dir.

Dizinin bir teriminin yeşil şeritte olması gerçekte ne demektir? Limitten (bu durumda beş sayısından) en fazla epsilon kadar uzakta olması. Tanımın söylediği de tam olarak budur: |a_n − a|<ϵ. Hatırlatırım, a değeri limiti gösterir, bizim durumumuzda a = 5 olur. On beşinci terimin değerini hesaplamayı deneyelim:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Şimdi |a_n − a|<ϵ bağıntısında yerine koyalım:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Eşitsizliğin sağlandığını görüyoruz. Bu nokta tanımı sağlar. 0,3125 sayısı, dizinin on beşinci terimi ile dizinin limiti arasındaki uzaklığı gösterir. Şekilde bu uzaklık kısa mor bir doğru parçasıyla vurgulanmıştır. n₀’dan büyük tüm sayıları böyle sınasaydık, bu eşitsizliğin hep sağlandığını görürdük. Böylece a = 5 sayısı, bu dizinin limit tanımını sağlar.

Ancak tanımda önemli bir nokta var. Her ϵ>0 için o n₀ sayısını bulabilmemiz gerektiği yazıyor. Yani keyfi büyük epsilon için, ama özellikle keyfi küçük epsilon için. Epsilonu ne kadar küçültürsek küçültelim (ama yine pozitif olsun), yine de n₀’ı bulabilmeliyiz.

O halde epsilonu daha küçük bir değere indirmeyi deneyelim. Ne olur? İçine sığmamız gereken yeşil şerit daralır. Bu bizi hiç rahatsız etmez, n₀ değerini artırırız — onu sağa kaydırırız. Küçültmeyi ve kaydırmayı aşağıdaki şekil gösteriyor:

Bu kayma, limitin davranışını güzel biçimde gösterir. Limitten, dizinin terimlerinin ona giderek yaklaşmasını, limite olan uzaklıklarının sürekli azalmasını bekleriz. (Limite uzaklık, az önce hesapladığımız şeydir, şekildeki o mor çizgi.) Uzaklık sürekli azalıyor ve terimler limite yaklaşıyorsa, bir noktada limite epsilondan daha yakın olacakları duruma gelmeleri gerekir. İşte böylece n₀ değerimizi bulmuş oluruz. Epsilonu tersine daha büyük seçersek, n₀’ı daha küçük seçebiliriz:

Başta, dizinin limitine sürekli yaklaştığını ama ona hiçbir zaman değmediğini söylemiştim. Ancak dizi limitine değebilir, hatta limit değerini sonsuz kez alabilir. Örneğin a_n = 1 sabit dizisi her noktada bir değerini alır ve limiti de birdir.

Limitin Olmadığının Gösterilmesi

Dizinin tanımını şu grafiğe uyacak biçimde değiştirmeyi deneyelim: (kuralın kendisi şimdilik önemli değil)

Dizi, onuncu, yirminci, otuzuncu vb. terimler dışında önceki durumdaki gibi davranır (bu terimlerin hep 3,5 sayısına eşit olduğunu varsayalım — ne artıyorlar ne azalıyorlar). Bu terimler bir bakıma ritmin dışındadır. Şekle iki komşuluk çizdim: epsilon bir ve iki. Gördüğümüz gibi ϵ₂ için (büyük olan epsilon komşuluğu) sonraki tüm terimlerin yeşil şeritte olacağı bir n₀ bulabiliriz. Ama epsilon değerini ϵ₁’e indirdiğimizde artık böyle bir n₀ bulamayız — her onuncu terim bu komşuluğun dışında kalır. Bu dizinin limiti beş olmazdı (başka hiçbir sayı da limiti değildir).

Başka Limit Örnekleri

Hiçbir limiti olmayan dizi örneği, aşağıdaki şekilde gösterilen a_n = sin n dizisidir:

Dizinin hiçbir sayıya yakınsamadığını, terimlerinin sürekli azalıp arttığını görüyoruz. Böyle bir diziye ıraksak dizi diyoruz.

Şimdiye kadar limite tek taraftan yakınsayan yakınsak dizileri gösterdik. Oysa dizi limite iki taraftan da yaklaşabilir; şu dizi bunu gösteriyor:

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Bu dizi de sıfıra yakınsar.

Sonsuz Limit

Şimdiye kadar sonlu limitten, yani dizinin bir gerçek sayıya yaklaştığı durumdan söz ettik. Peki a_n = n gibi bir dizi? Dizi hangi gerçek sayıya yaklaşır? Grafiğe bakalım:

Belli ki hiçbir gerçek sayıya yaklaşmıyor, sınırsız artıyor, sonsuza gidiyor. Böyle bir dizinin limiti sonsuzdur ve böyle bir limite sonsuz limit diyoruz. Sonsuz limitin tanımı basittir. Dizinin sonsuza gitmesi ne demektir? Keyfi büyük bir A gerçek sayısı seçtiğimizde, her zaman öyle bir n₀ indisi bulabiliriz ki bu indisten sonraki tüm terimler bu A sayısından büyüktür. Kısacası bir A sınırı seçersek, dizinin belli bir yerinden sonra tüm terimler bu A’dan büyüktür. Matematiksel olarak yazılışı:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in {\mathbb{Z}}^{+}\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Başta “her A için” ifadesi var, yani seçmek isteyebileceğimiz tüm sınırlar için. Sonra, n bu n₀’dan büyükse a_n teriminin değerinin başta seçtiğimiz sınırdan, yani A’dan büyük olacağı bir n₀ indisinin var olması gerektiğini söyleyen varlık niceleyicisi geliyor. Eksi sonsuzdaki sonsuz limit için tanım da benzerdir.

Limit Hesaplama Yöntemleri

Dizinin limitini hesaplamanın birkaç temel yöntemini zaten biliyoruz. a_n = n dizisinin çeşitli biçimlerinin, örneğin

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

limiti artı sonsuzdur. Buna karşılık şu türden dizilerin

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

limiti sıfırdır. Şimdi dizilerle işlem yapmak için bazı temel bağıntıları verelim. Şunların geçerli olduğunu varsayalım:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

O zaman şu bağıntılar da geçerlidir:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

İlk formülü şu örnekte kullanabiliriz:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

Peki şöyle bir örneğimiz olursa?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Burada sorun çıkıyor, çünkü paydaki ifade sonsuzda sonsuza yaklaşıyor, paydadaki ifade de sonsuza yaklaşıyor. Ama pay ve paydada sonsuz varsa belirsizlik denen bir durumla karşılaşırız. Kısacası bu ifadenin neye eşit olduğunu belirleyemeyiz:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Görevimiz, bu belirsiz ifade ortaya çıkmayacak biçimde ifadeyi düzenlemek olacak. Pay ya da paydan n değişkenini yok etmeyi başarırsak, yalnızca tek sonsuz bulunan bir ifade elde edebiliriz.

İfadeyi önce her terimi n değişkenine bölerek, yani kesri 1/n ifadesiyle genişleterek düzenleriz.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Paydada artık n değişkeni olmadığını ve paydadaki ifadenin sonsuzda sonsuza yaklaşmadığını görüyoruz. Önceki formüllere göre tüm limiti birkaç küçük limite ayırabiliriz: tüm ifadelerin limitlerini ayrı ayrı hesaplar, sonuçları toplar ve böleriz.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Böylece tüm limitleri hesaplayabileceğimiz bir duruma geldik. Hadi hesaplayalım.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Bu dizinin limiti 1,5 sayısıdır.

Bir örnek daha deneyelim:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Burada ya geçen seferki yöntemi kullanabiliriz ya da mantıksal bir akıl yürütmeyi deneyebiliriz. n² fonksiyonu diziyi, n fonksiyonunun onu aşağı çekmesinden çok daha hızlı yukarı çeker. n² fonksiyonu çok daha güçlüdür, bu yüzden tüm ifadenin limiti sonsuzdur. Bir de hesaplayarak deneyelim. Yine her ifadeyi n’ye bölelim:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

İfadede bulunan n²’ye değil de neden n’ye böldüğümüze dair birkaç söz daha. Bildiğimiz gibi amacımız bir değişkenden kurtulmak. Ancak paydanın değerinin sıfır olmaması gerektiğini de biliyoruz; yoksa yine belirsiz bir ifade elde ederdik. Kesri, paydada sıfır oluşmayacak bir ifadeyle genişletiriz. Bu durumda bu, paydadaki en yüksek üslü ifadeyle genişletmek demekti.

Böylece limitin, mertebe olarak daha hızlı büyüyen fonksiyona göre belirleneceğini söyleyebiliriz. Ama işaretlere dikkat: sonsuzla işlem yaparken de işareti korumalıyız:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$