Όριο ακολουθίας

Το όριο μιας ακολουθίας είναι ο αριθμός στον οποίο πλησιάζει μια δοσμένη ακολουθία στο άπειρο. Το όριο ακολουθίας είναι, κατά κάποιον τρόπο, ο πρόδρομος του ορίου συνάρτησης, που έχει μεγάλη σημασία στη μαθηματική ανάλυση.

Σύντομη εισαγωγή στα όρια

Το όριο μιας ακολουθίας είναι ο αριθμός στον οποίο πλησιάζει διαρκώς μια δοσμένη ακολουθία αριθμών (ή, ενδεχομένως, στο τέλος τον φτάνει κιόλας). Το καλύτερο είναι να δούμε ένα σχήμα που δείχνει την ακολουθία με τύπο ${\alpha }_{\nu }=\frac{1}{\nu }$:

Στο σχήμα βλέπουμε ότι οι όροι της ακολουθίας πλησιάζουν όλο και περισσότερο το μηδέν. Όσο μεγαλύτερο είναι το ν, τόσο μικρότερη είναι η τιμή του α_ν και τόσο περισσότερο πλησιάζει το μηδέν. Η γραφική παράσταση δεν θα αγγίξει ποτέ τον οριζόντιο άξονα, γιατί η εξίσωση 1/ν = 0 δεν θα ισχύσει ποτέ (όπου ν είναι φυσικός αριθμός). Αξίζει όμως να βρούμε σε ποιον αριθμό πλησιάζει ολόκληρη η ακολουθία. Το ερώτημα λοιπόν μπορεί να τεθεί έτσι – αν αυξάνουμε το ν διαρκώς, σε ποιον αριθμό θα πλησιάζει η τιμή της ακολουθίας; Αν πλησιάσουμε το ν στο άπειρο, ποια τιμή θα έχει ο όρος της ακολουθίας; Ακριβώς αυτό μελετούν τα όρια. Το γράφουμε με το σύμβολο lim. Στον κάτω δείκτη βάζουμε τον αριθμό στον οποίο πλησιάζει το ν, που στις ακολουθίες είναι πάντα το άπειρο. Ολόκληρος ο συμβολισμός μπορεί να μοιάζει για παράδειγμα έτσι:

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\nu }=0.$$

Διαβάζουμε: «Το όριο της ακολουθίας ένα δια ν, όταν το ν τείνει στο άπειρο, είναι μηδέν.» Μερικά ακόμη τετριμμένα παραδείγματα: Ποιο είναι το όριο της ακολουθίας α_ν = ν; Είναι μια απλή ακολουθία, όπου α₁ = 1, α₄₂ = 42, α₅₈₇₆₆ = 58766 κ.λπ. Σε ποιον αριθμό θα πλησιάζουν οι όροι της ακολουθίας στο άπειρο; Όσο μεγαλύτερο το ν, τόσο μεγαλύτερο το α_ν, άρα το όριο θα είναι το άπειρο.

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\nu =+\mathrm{\infty }$$

Μάλλον διαισθητικά καταλαβαίνεις ότι το όριο της ακολουθίας α_ν = ν² θα είναι επίσης το άπειρο. Αυτή η ακολουθία θα αυξάνεται ακόμη ταχύτερα από την προηγούμενη. Αντίθετα, το όριο της ακολουθίας ${\alpha }_{\nu }=\frac{1}{2\nu }$ θα μειώνεται προς το μηδέν ακόμη πιο γρήγορα από την πρώτη ακολουθία του παραδείγματος.

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\nu }^2=+\mathrm{\infty },\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2\nu }=0$$

Ορισμός του πεπερασμένου ορίου ακολουθίας

Ήρθε η ώρα να ορίσουμε σωστά το όριο ακολουθίας.

Η ακολουθία ${\{{\alpha }_{\nu }\in \mathbb{R}\}}_{\nu =1}^{+\mathrm{\infty }}$ έχει πεπερασμένο όριο α (συγκλίνει στο όριο α ∈ ℝ, είναι συγκλίνουσα), αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ν₀ ∈ ℕ^∗ τέτοιο ώστε για όλα τα ν>ν₀ να ισχύει |α_ν − α| < ϵ.

Οι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται είναι:

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }_{\nu }=\alpha$$

$${\alpha }_{\nu }\to \alpha \text{ για }\nu \to +\mathrm{\infty }$$

$${\left\{{\alpha }_{\nu }\right\}}_{\nu =1}^{+\mathrm{\infty }}\to \alpha$$

Ο ορισμός είναι ωραίος, ας τον εξηγήσουμε τώρα. Γι' αυτό θα χρειαστούμε το σχήμα μιας ακολουθίας, οπότε διαλέγουμε για παράδειγμα την ακόλουθη:

$${\alpha }_{\nu }=\frac{5\nu }{\nu +1}$$

Και η γραφική της παράσταση:

Από τη γραφική παράσταση βλέπουμε εύκολα ότι η ακολουθία συγκλίνει στο πέντε, δηλαδή το όριο αυτής της ακολουθίας είναι πέντε. Πριν αρχίσω να δείχνω τον ορισμό του ορίου σε αυτή την ακολουθία, θα προσθέσω λίγα χρώματα στο σχήμα:

Ξέρουμε ήδη ότι το όριο αυτής της ακολουθίας είναι πέντε. Στο πρώτο μέρος του ορισμού γίνεται λόγος για ϵ>0, δηλαδή για κάποιο έψιλον μεγαλύτερο από το μηδέν. Το έψιλον εδώ παριστάνει την περιοχή του ορίου, την περιοχή του σημείου. Είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, επειδή μια περιοχή δεν μπορεί να είναι αρνητική ούτε μηδενική. Στο σχήμα αυτή η περιοχή παριστάνεται με τις οριζόντιες πράσινες γραμμές πάνω στον άξονα y'y. Το σημείο εδώ είναι η τιμή πέντε και η περιοχή του σημείου είναι αυτές οι πράσινες γραμμές στον άξονα y'y. Η περιοχή ορίζεται και προς τις δύο κατευθύνσεις, προς τα πάνω και προς τα κάτω. Αυτή τη φανταστική λωρίδα που ορίζουν οι πράσινες οριζόντιες γραμμές θα τη χρειαστούμε τώρα. Στο σχήμα ισχύει ϵ = 1.

Στόχος μας είναι να βρούμε στον κάτω οριζόντιο άξονα έναν αριθμό ν₀ που χωρίζει τον κάτω άξονα σε δύο μέρη. Πρέπει μάλιστα όλοι οι όροι της ακολουθίας δεξιά από αυτόν τον αριθμό ν₀ να βρίσκονται μέσα σε αυτή την πράσινη λωρίδα. Το πού βρίσκονται οι όροι αριστερά του ν₀ δεν έχει σημασία και δεν χρειάζεται να βρούμε το μικρότερο ν₀ για το οποίο ισχύει ο ορισμός. Στο σχήμα ισχύει ν₀ = 12.

Τι σημαίνει στην πραγματικότητα ότι ένας όρος της ακολουθίας βρίσκεται μέσα στην πράσινη λωρίδα; Ότι απέχει από το όριο (εδώ από τον αριθμό πέντε) το πολύ έψιλον. Και αυτό ακριβώς λέει ο ορισμός: |α_ν − α|<ϵ. Υπενθυμίζω ότι η τιμή α δηλώνει το όριο, άρα στην περίπτωσή μας ισχύει α = 5. Ας υπολογίσουμε την τιμή του δέκατου πέμπτου όρου:

$${\alpha }_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Τώρα αντικαθιστούμε στη σχέση |α_ν − α|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|{\alpha }_{\nu }-\alpha |& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Βλέπουμε ότι η ανισότητα ισχύει. Αυτό το σημείο ικανοποιεί τον ορισμό. Ο αριθμός 0,3125 εκφράζει την απόσταση ανάμεσα στον δέκατο πέμπτο όρο της ακολουθίας και στο όριο της ακολουθίας. Στο σχήμα η απόσταση αυτή επισημαίνεται με ένα μικρό μοβ ευθύγραμμο τμήμα. Αν δοκιμάζαμε με τον ίδιο τρόπο όλους τους αριθμούς μεγαλύτερους από το ν₀, θα βλέπαμε ότι η ανισότητα συνεχίζει να ισχύει. Ο αριθμός α = 5 ικανοποιεί λοιπόν τον ορισμό του ορίου αυτής της ακολουθίας.

Στον ορισμό όμως υπάρχει κάτι σημαντικό. Λέει ότι για κάθε ϵ>0 μπορούμε να βρούμε αυτόν τον αριθμό ν₀. Δηλαδή για οσοδήποτε μεγάλο έψιλον, αλλά κυρίως για οσοδήποτε μικρό έψιλον. Όσο κι αν μικρύνουμε το έψιλον (αρκεί να μένει θετικός αριθμός), πρέπει πάντα να μπορούμε να βρούμε ν₀.

Ας δοκιμάσουμε λοιπόν να μικρύνουμε το έψιλον σε κάποια μικρότερη τιμή. Τι θα γίνει; Θα στενέψει η πράσινη λωρίδα, μέσα στην οποία πρέπει να χωρέσουμε. Αυτό όμως δεν μας πειράζει καθόλου, απλώς θα αυξήσουμε την τιμή του ν₀ – θα το μετακινήσουμε προς τα δεξιά. Τη μείωση και τη μετακίνηση δείχνει το επόμενο σχήμα:

Αυτή η μετακίνηση δείχνει όμορφα τη συμπεριφορά του ορίου. Από το όριο περιμένουμε ότι οι όροι της ακολουθίας θα το πλησιάζουν σταδιακά, ότι η απόστασή τους από το όριο θα μειώνεται διαρκώς. (Η απόσταση από το όριο είναι αυτό που υπολογίσαμε πριν από λίγο, η μοβ γραμμή στο σχήμα.) Αν η απόσταση μειώνεται διαρκώς και οι όροι πλησιάζουν το όριο, κάποια στιγμή πρέπει να φτάσουν σε κατάσταση όπου θα είναι πιο κοντά στο όριο από το έψιλον. Και έτσι βρήκαμε την τιμή ν₀. Αν αντίθετα διαλέξουμε μεγαλύτερο έψιλον, μπορούμε να διαλέξουμε μικρότερο ν₀:

Στην αρχή ανέφερα ότι η ακολουθία πλησιάζει διαρκώς το όριό της, αλλά δεν το αγγίζει ποτέ. Ωστόσο μια ακολουθία μπορεί να αγγίξει το όριό της, μπορεί μάλιστα να παίρνει την τιμή του ορίου της άπειρες φορές. Για παράδειγμα η σταθερή ακολουθία α_ν = 1 θα έχει σε κάθε σημείο τιμή ένα και όριο επίσης ένα.

Επίδειξη της ανυπαρξίας ορίου

Ας τροποποιήσουμε τον ορισμό της ακολουθίας ώστε να αντιστοιχεί στην ακόλουθη γραφική παράσταση: (ο ίδιος ο τύπος δεν έχει προς το παρόν σημασία)

Η ακολουθία συμπεριφέρεται όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, εκτός από τον δέκατο, τον εικοστό, τον τριακοστό κ.ο.κ. όρο της ακολουθίας (ας υποθέσουμε ότι αυτοί οι όροι είναι πάντα ίσοι με 3,5 – ούτε αυξάνονται ούτε μειώνονται). Αυτοί οι όροι είναι κατά κάποιον τρόπο εκτός ρυθμού. Στο σχήμα σχεδίασα δύο περιοχές, έψιλον ένα και δύο. Όπως βλέπουμε, για το ϵ₂ (τη μεγαλύτερη περιοχή) μπορούμε να βρούμε ν₀ τέτοιο ώστε όλοι οι επόμενοι όροι να βρίσκονται στην πράσινη λωρίδα. Όταν όμως μειώσουμε την τιμή του έψιλον σε ϵ₁, δεν βρίσκουμε πια τέτοιο ν₀ – κάθε δέκατος όρος θα είναι εκτός αυτής της περιοχής. Αυτή η ακολουθία δεν θα είχε όριο στο πέντε (και δεν έχει όριο πουθενά αλλού).

Παραδείγματα άλλων ορίων

Παράδειγμα ακολουθίας που δεν έχει κανένα όριο είναι η α_ν = ημ ν, που φαίνεται στο επόμενο σχήμα:

Βλέπουμε ότι η ακολουθία δεν συγκλίνει σε κανέναν αριθμό, οι όροι της ακολουθίας διαρκώς μειώνονται και αυξάνονται. Μια τέτοια ακολουθία τη λέμε αποκλίνουσα.

Μέχρι τώρα δείξαμε συγκλίνουσες ακολουθίες που συγκλίνουν στο όριό τους από τη μία πλευρά. Μια ακολουθία όμως μπορεί να πλησιάζει το όριο και από τις δύο πλευρές, όπως δείχνει αυτή η ακολουθία

$${\alpha }_{\nu }=(-1{)}^{\nu }\cdot \frac{1}{\nu }$$

Και αυτή η ακολουθία θα συγκλίνει στο μηδέν.

Άπειρο όριο

Μέχρι τώρα μιλούσαμε για πεπερασμένο όριο, δηλαδή για την περίπτωση όπου η ακολουθία πλησιάζει κάποιον πραγματικό αριθμό. Τι γίνεται όμως με μια ακολουθία όπως η α_ν = ν; Σε ποιον πραγματικό αριθμό πλησιάζει η ακολουθία; Δες τη γραφική παράσταση:

Προφανώς δεν πλησιάζει κανέναν πραγματικό αριθμό, αλλά αυξάνεται πάνω από κάθε φράγμα, αυξάνεται προς το άπειρο. Μια τέτοια ακολουθία έχει όριο στο άπειρο και για ένα τέτοιο όριο λέμε ότι είναι άπειρο. Ο ορισμός του άπειρου ορίου είναι απλός. Τι σημαίνει ότι η ακολουθία αυξάνεται προς το άπειρο; Ότι αν διαλέξουμε έναν πραγματικό αριθμό A, οσοδήποτε μεγάλο, θα βρούμε πάντα δείκτη ν₀ τέτοιον ώστε για όλους τους όρους της ακολουθίας μετά από αυτόν τον όρο να ισχύει ότι είναι μεγαλύτεροι από αυτόν τον αριθμό A. Με δυο λόγια, αν διαλέξουμε ένα φράγμα A, από κάποιο σημείο της ακολουθίας και μετά όλοι οι όροι είναι μεγαλύτεροι από αυτό το A. Γραμμένο μαθηματικά:

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }_{\nu }=+\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{\nu }_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mathrm{\forall }\nu \in {\mathbb{N}}^{\ast }:\nu >{\nu }_0\Rightarrow {\alpha }_{\nu }>A$$

Στην αρχή έχουμε «για όλα τα A», δηλαδή για όλα τα φράγματα που θα μπορούσαμε να διαλέξουμε. Μετά έχουμε τον υπαρξιακό ποσοδείκτη, που λέει ότι πρέπει να υπάρχει δείκτης ν₀ για τον οποίο ισχύει ότι αν το ν είναι μεγαλύτερο από αυτό το ν₀, τότε η τιμή του όρου α_ν είναι μεγαλύτερη από το φράγμα που διαλέξαμε στην αρχή, δηλαδή το A. Ανάλογος είναι ο ορισμός για το άπειρο όριο στο μείον άπειρο.

Μέθοδοι υπολογισμού ορίων

Ξέρουμε ήδη μερικές βασικές μεθόδους για να υπολογίσουμε το όριο μιας ακολουθίας. Διάφορες παραλλαγές της ακολουθίας α_ν = ν, όπως για παράδειγμα

$${\alpha }_{\nu }=2\nu ,{\alpha }_{\nu }=\frac{\nu }{2}$$

έχουν όριο το συν άπειρο. Αντίθετα, οι ακολουθίες του τύπου

$${\alpha }_{\nu }=\frac{1}{\nu },{\alpha }_{\nu }=\frac{15}{4\nu }$$

έχουν όριο το μηδέν. Τώρα θα δούμε μερικές βασικές σχέσεις για τον υπολογισμό με ακολουθίες. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }_{\nu }=\alpha ,\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\beta }_{\nu }=\beta ,\alpha ,\beta \in \mathbb{R}.$$

Τότε ισχύουν και οι εξής σχέσεις:

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}({\gamma }_1{\alpha }_{\nu }+{\gamma }_2{\beta }_{\nu })={\gamma }_1\alpha +{\gamma }_2\beta \mathrm{\forall }{\gamma }_1,{\gamma }_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }_{\nu }{\beta }_{\nu }=\alpha \cdot \beta ;\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\alpha }_{\nu }}{{\beta }_{\nu }}=\frac{\alpha }{\beta };\beta \ne 0.$$

Τον πρώτο τύπο μπορούμε να τον εφαρμόσουμε στο ακόλουθο παράδειγμα:

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{\nu }+5)=\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\nu }+\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

Και τι γίνεται όταν έχουμε ένα τέτοιο παράδειγμα;

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3\nu +1}{2\nu }$$

Εδώ υπάρχει πρόβλημα, γιατί η παράσταση στον αριθμητή τείνει στο άπειρο και η παράσταση στον παρονομαστή τείνει επίσης στο άπειρο. Αν όμως έχουμε άπειρο και στον αριθμητή και στον παρονομαστή, παίρνουμε μια λεγόμενη απροσδιόριστη μορφή. Με λίγα λόγια, δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε σε τι ισούται αυτή η παράσταση:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Σκοπός μας θα είναι να μετασχηματίσουμε την παράσταση ώστε να μην προκύπτει αυτή η απροσδιόριστη μορφή. Αν καταφέρουμε να εξαλείψουμε τη μεταβλητή ν από τον παρονομαστή ή από τον αριθμητή, μπορούμε να πάρουμε παράσταση με μόνο ένα άπειρο.

Πρώτα μετασχηματίζουμε την παράσταση διαιρώντας κάθε όρο με τη μεταβλητή ν, δηλαδή πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την παράσταση 1/ν.

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3\nu +1}{2\nu }=\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3\nu +1}{2\nu }\cdot \frac{\frac{1}{\nu }}{\frac{1}{\nu }})=\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3\nu }{\nu }+\frac{1}{\nu }}{\frac{2\nu }{\nu }}=\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{\nu }}{2}$$

Βλέπουμε ότι στον παρονομαστή δεν υπάρχει πια η μεταβλητή ν και έτσι η παράσταση στον παρονομαστή δεν τείνει στο άπειρο. Σύμφωνα με τους προηγούμενους τύπους μπορούμε να αναλύσουμε ολόκληρο το όριο σε μερικά μικρότερα, υπολογίζοντας χωριστά τα όρια όλων των παραστάσεων και προσθέτοντας και διαιρώντας τα αποτελέσματα.

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{\nu }}{2}=\frac{\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\nu }}{\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Έτσι φτάσαμε σε σημείο όπου μπορούμε πια να υπολογίσουμε όλα τα όρια. Ας το κάνουμε.

$$\frac{\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\nu }}{\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Όριο αυτής της ακολουθίας είναι ο αριθμός 1,5.

Ας δοκιμάσουμε ένα ακόμη παράδειγμα:

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3{\nu }^2+1}{2\nu }$$

Εδώ μπορούμε είτε να χρησιμοποιήσουμε την ίδια διαδικασία όπως προηγουμένως είτε να δοκιμάσουμε να σκεφτούμε λογικά. Η συνάρτηση ν² θα τραβάει την ακολουθία προς τα πάνω πολύ πιο γρήγορα από ό,τι η συνάρτηση ν θα την τραβάει προς τα κάτω. Η συνάρτηση ν² είναι πολύ πιο ισχυρή και έτσι ολόκληρη η παράσταση θα έχει όριο το άπειρο. Ας το υπολογίσουμε κιόλας. Ξανά διαιρούμε κάθε όρο με ν:

$$\begin{array}{rcl}\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3{\nu }^2+1}{2\nu }& =& \underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3{\nu }^2}{\nu }+\frac{1}{\nu }}{\frac{2\nu }{\nu }}\\ & =& \underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3\nu +\frac{1}{\nu }}{2}\\ & =& \frac{\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}3\nu +\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\nu }}{\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{+\mathrm{\infty }+0}{2}=+\mathrm{\infty }\end{array}$$

Μερικά ακόμη λόγια για το γιατί διαιρέσαμε με ν και όχι, για παράδειγμα, με ν², που επίσης εμφανίζεται στην παράσταση. Στόχος μας, όπως ξέρουμε, είναι να απαλλαγούμε από κάποια μεταβλητή. Ξέρουμε όμως ότι η τιμή του παρονομαστή δεν πρέπει να είναι μηδέν, γιατί θα παίρναμε πάλι απροσδιόριστη μορφή. Αριθμητή και παρονομαστή θα τους διαιρέσουμε με μια παράσταση τέτοια ώστε να μην προκύπτει μηδέν στον παρονομαστή. Στη συγκεκριμένη περίπτωση αυτό σήμαινε να τους διαιρέσουμε με την παράσταση που έχει τον μεγαλύτερο εκθέτη στον παρονομαστή.

Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι το όριο θα ακολουθεί τη συνάρτηση που αυξάνεται με ταχύτερο ρυθμό. Προσοχή όμως στα πρόσημα, ακόμη και όταν υπολογίζουμε με το άπειρο πρέπει να διατηρούμε το πρόσημο:

$$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3{\nu }^2+1}{-2\nu }=\dots =\frac{+\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$