Limite d’une suite

La limite d’une suite représente le nombre dont une suite donnée se rapproche à l’infini. La limite d’une suite est en quelque sorte l’ancêtre de la limite d’une fonction, qui a une grande importance en analyse.

Petite introduction aux limites

La limite d’une suite représente le nombre dont se rapproche sans cesse une suite de nombres donnée (et qu’elle finit même parfois par atteindre). Le mieux est un dessin qui représente la suite donnée par la formule $u_n=\frac{1}{n}$ :

Sur le dessin, nous voyons que les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de zéro. Plus n est grand, plus la valeur de u_n est petite et plus elle se rapproche de zéro. Le graphe ne touche jamais l’axe horizontal, car l’équation 1/n = 0 (où n est un entier naturel) n’est jamais vérifiée. Il vaut pourtant la peine de savoir de quel nombre toute la suite se rapproche. La question peut donc être : si l’on augmente n sans cesse, de quelle valeur la suite se rapprochera-t-elle ? Si l’on rapproche n de l’infini, quelle valeur aura le terme de la suite ? C’est exactement ce que résolvent les limites. On les note avec le symbole $lim$. En indice, on met le nombre vers lequel tend n ; pour les suites, ce sera toujours l’infini. L’écriture complète peut ressembler par exemple à ceci :

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

On lit : « La limite de la suite un sur n quand n tend vers l’infini est zéro. » Encore quelques exemples triviaux : quelle est la limite de la suite u_n = n ? C’est une suite simple, où u₁ = 1, u₄₂ = 42, u₅₈₇₆₆ = 58766, etc. Vers quel nombre les termes de la suite vont-ils se rapprocher à l’infini ? Plus n est grand, plus u_n est grand, donc la limite sera l’infini.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Tu devines sans doute intuitivement que la limite de la suite u_n = n² sera elle aussi l’infini. Cette suite croîtra encore plus vite que la précédente. En revanche, la suite $u_n=\frac{1}{2n}$ décroîtra vers zéro encore plus vite que la première suite en exemple.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Définition de la limite finie d’une suite

Il est temps de définir proprement la limite d’une suite.

Une suite (u_n)_{n ∈ ℕ^*} de nombres réels a pour limite finie ℓ (elle converge vers la limite ℓ ∈ ℝ, elle est convergente) si, pour tout ϵ > 0, il existe n₀ ∈ ℕ^* tel que, pour tout n>n₀, on ait |u_n − ℓ| < ϵ.

Les écritures utilisées sont :

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=\ell$$

$$u_n\to \ell \text{ quand }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left(u_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}\to \ell$$

C’est une belle définition, expliquons-la maintenant. Pour cela, il nous faut le dessin d’une suite, donc choisissons par exemple la suite suivante :

$$u_n=\frac{5n}{n+1}$$

Et son graphe :

Le graphe permet de lire facilement que la suite converge vers cinq, c’est-à-dire que la limite de cette suite est cinq. Avant de commencer à illustrer la définition de la limite avec cette suite, j’ajoute un peu de couleur au graphe :

Nous savons déjà que la limite de cette suite est cinq. Dans la première partie de la définition, il est question de ϵ>0, donc d’un epsilon plus grand que zéro. Epsilon représente ici le voisinage de la limite, le voisinage d’un point. Il est plus grand que zéro parce qu’un voisinage ne peut être ni négatif ni nul. Sur le dessin, ce voisinage est représenté par les lignes vertes horizontales sur l’axe y. Le point est ici la valeur cinq, et le voisinage du point, ce sont ces lignes vertes sur l’axe y. Le voisinage est défini dans les deux sens, vers le haut et vers le bas. Nous allons maintenant avoir besoin de cette bande imaginaire délimitée par les lignes vertes horizontales. Sur le dessin, on a ϵ = 1.

Notre but est de trouver sur l’axe horizontal du bas un nombre n₀ qui partage cet axe en deux parties, de sorte que tous les termes de la suite à droite de n₀ se trouvent dans cette bande verte. Où se trouvent les termes à gauche de n₀ n’a pas d’importance, et nous n’avons pas besoin de chercher le plus petit n₀ pour lequel cette définition est vraie. Sur le dessin, on a n₀ = 12.

Que signifie en réalité qu’un terme de la suite soit dans la bande verte ? Cela signifie qu’il est à une distance de la limite (ici du nombre cinq) d’au plus epsilon. Et c’est exactement ce que dit la définition : |u_n − ℓ|<ϵ. Je rappelle que la valeur ℓ désigne la limite ; dans notre cas, on a donc ℓ = 5. Essayons de calculer la valeur du quinzième terme :

$$u_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Remplaçons maintenant dans la relation |u_n − ℓ|<ϵ :

$$\begin{array}{rcl}|u_n-\ell |& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Nous voyons que l’inégalité est vérifiée. Ce point satisfait la définition. Le nombre 0,3125 exprime la distance entre le quinzième terme de la suite et la limite de la suite. Sur le dessin, cette distance est mise en évidence par un petit segment violet. Si nous testions de la même façon tous les nombres plus grands que n₀, nous constaterions que cette inégalité reste vraie. Le nombre ℓ = 5 vérifie donc la définition de la limite de cette suite.

Il y a pourtant dans la définition un point important. Elle dit que, pour tout ϵ>0, nous sommes capables de trouver ce nombre n₀. Donc pour un epsilon aussi grand qu’on veut, mais surtout pour un epsilon aussi petit qu’on veut. Même si nous réduisons epsilon à un nombre aussi petit qu’on veut (mais toujours strictement positif), nous devons malgré tout pouvoir trouver n₀.

Essayons donc de réduire epsilon à une valeur plus petite. Que se passe-t-il ? La bande verte dans laquelle nous devons nous placer rétrécit. Cela ne nous gêne pas du tout : nous augmentons simplement la valeur de n₀, c’est-à-dire que nous le décalons vers la droite. Le rétrécissement et le décalage sont illustrés par le dessin suivant :

Ce décalage illustre bien le comportement de la limite. Nous attendons d’une limite que les termes de la suite s’en rapprochent peu à peu, que leur distance à la limite diminue sans cesse. (La distance à la limite, c’est ce que nous venons de calculer, ce trait violet sur le dessin.) Si la distance diminue sans cesse et que les termes se rapprochent de la limite, il faut qu’à un moment ils soient plus proches de la limite que epsilon. Et nous avons ainsi trouvé notre valeur n₀. Si, au contraire, nous choisissons un epsilon plus grand, nous pouvons choisir un n₀ plus petit :

Au début, j’ai mentionné qu’une suite se rapproche sans cesse de sa limite, mais ne la touche jamais. Pourtant, une suite peut toucher sa limite, et même prendre cette valeur une infinité de fois. Par exemple, la suite constante u_n = 1 vaut un en chaque point et a aussi pour limite un.

Illustration de la non-existence d’une limite

Essayons de modifier la définition de la suite pour qu’elle corresponde au graphe suivant : (la formule elle-même n’a pas d’importance pour l’instant)

La suite se comporte comme dans le cas précédent, sauf pour le dixième, le vingtième, le trentième, etc. terme de la suite (supposons que ces termes soient toujours égaux à 3,5, sans jamais croître ni décroître). Ces termes sont en quelque sorte « hors rythme ». J’ai dessiné deux voisinages, epsilon un et epsilon deux. Comme nous le voyons, pour ϵ₂ (le voisinage au plus grand epsilon), nous pouvons trouver un n₀ tel que tous les termes suivants soient dans la bande verte. Mais si nous diminuons epsilon jusqu’à ϵ₁, nous ne trouvons plus de tel n₀ : un terme sur dix sera hors de ce voisinage. Cette suite n’aurait pas de limite au point cinq (et elle n’en a nulle part ailleurs).

Exemples d’autres limites

Un exemple de suite qui n’a aucune limite est u_n = sin n, représentée sur le dessin suivant :

Nous voyons que la suite ne converge vers aucun nombre : ses termes ne cessent de décroître et de croître. On dit qu’une telle suite est divergente.

Jusqu’ici, nous avons montré des suites convergentes qui convergeaient vers leur limite d’un seul côté. Mais une suite peut se rapprocher de sa limite des deux côtés, comme le montre cette suite

$$u_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Cette suite aussi converge vers zéro.

Limite infinie

Jusqu’ici, nous avons parlé de la limite finie, c’est-à-dire du cas où la suite se rapproche d’un nombre réel. Mais qu’en est-il d’une suite comme u_n = n ? De quel nombre réel la suite se rapproche-t-elle ? Regarde le graphe :

Visiblement, elle ne se rapproche d’aucun nombre réel, mais elle croît au-delà de toute borne, elle croît vers l’infini. Une telle suite a donc pour limite l’infini, et on dit d’une telle limite qu’elle est infinie. La définition de la limite infinie est simple. Que signifie qu’une suite croît vers l’infini ? Que, si l’on choisit un nombre réel A, aussi grand qu’on veut, on trouve toujours un indice n₀ tel que tous les termes de la suite après ce terme soient plus grands que ce nombre A. Bref, si l’on choisit une borne A, alors à partir d’un certain rang de la suite, tous les termes sont plus grands que ce A. Écrit mathématiquement :

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }:n>n_0\Rightarrow u_n>A$$

Au début, nous avons « pour tout A », donc pour toutes les bornes que nous voudrions choisir. Ensuite vient le quantificateur existentiel, qui dit qu’il doit exister un indice n₀ tel que, si n est plus grand que ce n₀, alors la valeur du terme u_n est plus grande que la borne choisie au départ, c’est-à-dire A. La définition sera analogue pour une limite égale à moins l’infini.

Méthodes de calcul des limites

Nous connaissons déjà quelques méthodes de base pour calculer la limite d’une suite. Diverses variantes de la suite u_n = n, comme par exemple

$$u_n=2n,u_n=\frac{n}{2}$$

ont pour limite plus l’infini. En revanche, les suites du type

$$u_n=\frac{1}{n},u_n=\frac{15}{4n}$$

ont pour limite zéro. Nous allons maintenant présenter quelques relations de base pour calculer avec des suites. Supposons que

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=\ell ,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{v}_n={\ell }^{\prime },\ell ,{\ell }^{\prime }\in \mathbb{R}.$$

On a alors aussi les relations suivantes :

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{u}_n+c_2{v}_n)=c_1\ell +c_2{\ell }^{\prime }\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n{v}_n=\ell \cdot {\ell }^{\prime };\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=\frac{\ell }{{\ell }^{\prime }};{\ell }^{\prime }\ne 0.$$

Nous pourrions appliquer la première formule dans l’exemple suivant :

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

Et dans le cas d’un exemple comme celui-ci ?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Un problème se pose ici, car l’expression au numérateur tend vers l’infini à l’infini, et l’expression au dénominateur tend elle aussi vers l’infini. Or, si l’on a l’infini au numérateur et au dénominateur, on obtient ce qu’on appelle une forme indéterminée. Bref, nous ne pouvons pas déterminer à quoi est égale cette expression :

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Notre tâche sera de transformer l’expression pour que cette forme indéterminée n’apparaisse pas. Si nous réussissons à supprimer la variable n du dénominateur ou du numérateur, nous pouvons déjà obtenir une expression où il n’y aura qu’un seul infini.

Nous transformons d’abord l’expression en divisant chaque terme par la variable n, c’est-à-dire en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Nous voyons que le dénominateur ne contient plus la variable n, et l’expression au dénominateur ne tend donc plus vers l’infini à l’infini. D’après les formules précédentes, nous pouvons décomposer toute la limite en plusieurs limites plus petites : nous calculons séparément les limites de toutes les expressions, puis nous additionnons et divisons les résultats.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Nous voilà dans une situation où nous savons déjà calculer toutes les limites. Faisons-le.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

La limite de cette suite est le nombre 1,5.

Essayons un autre exemple :

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Ici, nous pouvons soit utiliser la même méthode que précédemment, soit essayer un raisonnement logique. La fonction n² tirera la suite vers le haut beaucoup plus vite que la fonction n ne la tirera vers le bas. La fonction n² est bien plus forte, et toute l’expression aura donc pour limite l’infini. Essayons aussi de le calculer. Divisons de nouveau chaque terme par n :

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Encore quelques mots sur la raison pour laquelle nous avons divisé par n et non, par exemple, par n², qui apparaît aussi dans l’expression. Notre but, nous le savons, est de nous débarrasser d’une variable. Mais nous savons que la valeur du dénominateur ne doit pas être nulle, sinon nous obtiendrions de nouveau une forme indéterminée. Nous multiplions la fraction par une expression telle qu’il n’apparaisse pas de zéro au dénominateur. Dans ce cas, cela a signifié la multiplier par l’expression de plus grand exposant au dénominateur.

On peut donc dire que la limite suit la fonction qui croît d’un ordre de grandeur plus vite. Attention toutefois aux signes : même en calculant avec l’infini, nous devons conserver le signe :

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$