Grænseværdi af en talfølge

Grænseværdien af en talfølge er det tal, som den givne talfølge nærmer sig i det uendelige. Grænseværdi af en talfølge er så en slags forløber for grænseværdi af en funktion, som har stor betydning i matematisk analyse.

Kort introduktion til grænseværdier

Grænseværdien af en talfølge er det tal, som en given talfølge hele tiden nærmer sig (eventuelt også til sidst når). Det bedste er en figur, der viser talfølgen givet ved forskriften $a_n=\frac{1}{n}$:

På figuren ser vi, at leddene i talfølgen kommer tættere og tættere på nul. Jo større n er, jo mindre er værdien a_n, og jo tættere er den på nul. Grafen rører aldrig den vandrette akse, fordi ligningen 1/n = 0 aldrig vil gælde (hvor n er et naturligt tal). Alligevel er det værd at undersøge, hvilket tal hele talfølgen nærmer sig. Spørgsmålet kan altså lyde — hvis vi hele tiden øger n, hvilket tal vil talfølgens værdi så nærme sig? Hvis vi lader n nærme sig uendelig, hvilken værdi vil leddet i talfølgen så have? Det er netop det, grænseværdier løser. Vi skriver den med betegnelsen lim. I nedre indeks har vi så, hvilket tal n nærmer sig, for talfølger vil det altid være uendelig. Hele skrivemåden kan for eksempel se sådan ud:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Vi læser: »Grænseværdien af talfølgen en over n for n gående mod uendelig er nul.« Nogle flere trivielle eksempler: Hvad er grænseværdien af talfølgen a_n = n? Det er en enkel talfølge, hvor a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 osv. Hvilket tal vil leddene i talfølgen nærme sig i det uendelige? Jo større n, jo større a_n, altså vil grænseværdien være uendelig.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Du kan nok intuitivt gætte, at grænseværdien af talfølgen a_n = n² også bliver uendelig. Denne talfølge vil vokse endnu hurtigere end den foregående. Omvendt vil talfølgen $a_n=\frac{1}{2n}$ aftage mod nul endnu hurtigere end den første talfølge i eksemplerne.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Definition af endelig grænseværdi af en talfølge

Det er på tide at definere grænseværdien af en talfølge ordentligt.

Talfølgen ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ har den endelige grænseværdi a (konvergerer mod grænseværdien a ∈ ℝ, er konvergent), hvis der til ethvert ϵ > 0 findes n₀ ∈ ℕ, så der for alle n>n₀ gælder |a_n − a| < ϵ.

De skrivemåder, der bruges, er:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ for }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

Det er en pæn definition, nu skal vi have den forklaret. Til det får vi brug for en figur af en talfølge, så vi vælger for eksempel følgende talfølge:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

Og dens graf:

Af grafen kan vi pænt aflæse, at talfølgen konvergerer mod fem, altså at grænseværdien af denne talfølge er fem. Inden jeg begynder at illustrere definitionen af grænseværdi på denne talfølge, tilføjer jeg lidt farver til grafen:

Vi ved allerede, at grænseværdien af denne talfølge er fem. I den første del af definitionen tales der om ϵ>0, altså et epsilon, der er større end nul. Epsilon repræsenterer her omegnen af grænseværdien, omegnen af et punkt. Det er større end nul, fordi omegnen hverken kan være negativ eller nul. På figuren er denne omegn vist med de vandrette grønne streger på y-aksen. Punktet er her værdien fem, og omegnen af punktet er de grønne streger på y-aksen. Omegnen som sådan er defineret i begge retninger, både op og ned. Dette tænkte bånd afgrænset af de grønne vandrette streger får vi nu brug for. På figuren gælder ϵ = 1.

Vores mål er at finde et tal n₀ på den nederste vandrette akse, som deler den nederste akse i to dele. Samtidig skal det gælde, at alle led i talfølgen til højre for dette tal n₀ ligger i dette grønne bånd. Hvor tallene til venstre for n₀ ligger, er ikke vigtigt, vi behøver ikke finde det mindste n₀, for hvilket denne definition gælder. På figuren gælder n₀ = 12.

Hvad betyder det egentlig, at et led i talfølgen ligger i det grønne bånd? At dets afstand til grænseværdien (i dette tilfælde til tallet fem) højst er epsilon. Og det er præcis det, definitionen siger: |a_n − a|<ϵ. Jeg minder om, at værdien a betegner grænseværdien, i vores tilfælde gælder altså: a = 5. Vi prøver at beregne værdien af det femtende element:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Nu sætter vi ind i sammenhængen |a_n − a|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Vi ser, at uligheden gælder. Dette punkt opfylder definitionen. Tallet 0,3125 udtrykker afstanden mellem det femtende led i talfølgen og talfølgens grænseværdi. På figuren er denne afstand fremhævet med et kort lilla linjestykke. Hvis vi på samme måde testede alle tal, der er større end n₀, ville vi finde ud af, at denne ulighed stadig gælder. Tallet a = 5 opfylder derfor definitionen af grænseværdien af denne talfølge.

I definitionen er der dog én vigtig ting. Der står, at vi for ethvert ϵ>0 skal kunne finde dette tal n₀. Altså for et vilkårligt stort epsilon, men fremfor alt for et vilkårligt lille epsilon. Uanset hvor lille (men stadig positivt) et tal vi gør epsilon, skal vi alligevel kunne finde n₀.

Lad os altså prøve at gøre epsilon mindre. Hvad sker der? Det grønne bånd, som vi skal ligge inden for, bliver mindre. Det gør os slet ikke noget, vi øger bare værdien af n₀ — flytter det mod højre. Både formindskelsen og flytningen illustreres af følgende figur:

Denne flytning viser pænt, hvordan grænseværdien opfører sig. Vi forventer af en grænseværdi, at leddene i talfølgen gradvist nærmer sig den, at deres afstand til grænseværdien hele tiden bliver mindre. (Afstanden til grænseværdien er det, vi lige har beregnet, den lilla streg på figuren.) Hvis afstanden hele tiden bliver mindre, og leddene nærmer sig grænseværdien, må de på et tidspunkt nå dertil, hvor de er tættere på grænseværdien end epsilon. Og dermed har vi fundet vores værdi n₀. Hvis vi omvendt vælger et større epsilon, kan vi vælge et mindre n₀:

I begyndelsen nævnte jeg, at en talfølge hele tiden nærmer sig sin grænseværdi, men aldrig rører den. Alligevel kan en talfølge godt røre sin grænseværdi, en talfølge kan endda antage sin grænseværdi uendeligt mange gange. For eksempel vil den konstante talfølge a_n = 1 have værdien en i ethvert punkt og også have grænseværdien en.

Illustration af, at en grænseværdi ikke eksisterer

Lad os ændre definitionen af talfølgen, så den passer til følgende graf: (selve forskriften er ikke vigtig lige nu)

Talfølgen opfører sig på samme måde som i det foregående tilfælde bortset fra det tiende, tyvende, tredivte osv. led i talfølgen (lad os antage, at disse led altid er lig med tallet 3,5 — de hverken vokser eller aftager). Disse led er på en måde ude af takt. På figuren har jeg tegnet to omegne, epsilon et og to. Som vi ser, kan vi for ϵ₂ (det større epsilon) finde et n₀, så alle de følgende led ligger i det grønne bånd. Men når vi sænker værdien af epsilon til ϵ₁, kan vi ikke længere finde sådan et n₀ — hvert tiende led vil ligge uden for denne omegn. Denne talfølge ville ikke have nogen grænseværdi i punktet fem (og den har heller ikke grænseværdi nogen andre steder).

Eksempler på andre grænseværdier

Et eksempel på en talfølge, der ikke har nogen grænseværdi, er a_n = sin n, vist på følgende figur:

Vi ser, at talfølgen ikke konvergerer mod noget tal, leddene i talfølgen aftager og vokser hele tiden. En sådan talfølge kalder vi divergent.

Hidtil har vi vist konvergente talfølger, som konvergerede mod den givne grænseværdi fra den ene side. Men en talfølge kan nærme sig grænseværdien fra begge sider, som denne talfølge viser

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Også denne talfølge vil konvergere mod nul.

Uendelig grænseværdi

Hidtil har vi talt om den endelige grænseværdi, altså tilfældet, hvor talfølgen nærmer sig et reelt tal. Men hvad med en talfølge som a_n = n? Hvilket reelt tal nærmer talfølgen sig? Se på grafen:

Den nærmer sig åbenbart ikke noget reelt tal, men vokser over alle grænser, vokser mod uendelig. En sådan talfølge har altså sin grænseværdi i uendelig, og en sådan grænseværdi kalder vi en uendelig grænseværdi. Definitionen af uendelig grænseværdi er enkel. Hvad betyder det, at en talfølge vokser mod uendelig? At når vi vælger et eller andet reelt tal A, vilkårligt stort, så finder vi altid et indeks n₀, så det for alle led i talfølgen efter dette led gælder, at de er større end dette tal A. Kort sagt: hvis vi vælger en grænse A, så gælder det fra et eller andet sted i talfølgen, at alle led er større end dette A. Skrevet matematisk:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

I begyndelsen har vi for alle A, altså for alle grænser, som vi kunne vælge. Så har vi eksistenskvantoren, der siger, at der skal findes et indeks n₀, for hvilket det gælder, at hvis n er større end dette n₀, så er værdien af leddet a_n større end den grænse, vi valgte i begyndelsen, altså A. En lignende definition gælder for en uendelig grænseværdi i minus uendelig.

Metoder til beregning af grænseværdier

Vi kender allerede nogle få grundlæggende metoder til at beregne grænseværdien af en talfølge. Forskellige variationer af talfølgen a_n = n som for eksempel

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

har grænseværdien plus uendelig. Omvendt har talfølger af typen

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

grænseværdien nul. Nu angiver vi nogle grundlæggende sammenhænge til regning med talfølger. Lad os antage, at der gælder

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Så gælder også disse sammenhænge:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

Den første formel kunne vi bruge i det følgende eksempel:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

Og hvad så i tilfældet, hvor vi har et eksempel som dette?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Her opstår der et problem, for udtrykket i tælleren nærmer sig uendelig i det uendelige, og udtrykket i nævneren nærmer sig også uendelig. Men hvis vi har uendelig både i tælleren og i nævneren, får vi et såkaldt ubestemt udtryk. Kort sagt kan vi ikke afgøre, hvad dette udtryk er lig med:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Vores opgave bliver at omforme udtrykket, så dette ubestemte udtryk ikke opstår. Hvis det lykkes os at fjerne variablen n fra nævneren eller fra tælleren, kan vi få et udtryk, hvor der kun er én uendelig.

Først omformer vi udtrykket ved at dividere hvert led med variablen n, altså forlænge brøken med udtrykket 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Vi ser, at der ikke længere er variablen n i nævneren, og udtrykket i nævneren nærmer sig derfor ikke uendelig i det uendelige. Ifølge de foregående formler kan vi dele hele grænseværdien op i flere mindre ved at beregne grænseværdierne af alle udtrykkene hver for sig og lægge resultaterne sammen og dividere dem.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Nu er vi i den situation, at vi kan beregne alle grænseværdierne. Lad os gøre det.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Grænseværdien af denne talfølge er tallet 1,5.

Vi prøver et andet eksempel:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Her kan vi enten bruge den samme fremgangsmåde som sidst, eller vi kan prøve at bruge en logisk overvejelse. Funktionen n² vil trække talfølgen opad langt hurtigere, end funktionen n vil trække den nedad. Funktionen n² er langt stærkere, og derfor vil hele udtrykket have grænseværdien uendelig. Vi prøver også at regne det ud. Igen dividerer vi hvert udtryk med n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Et par ord om, hvorfor vi dividerede med n og ikke for eksempel med n², som også forekommer i udtrykket. Vores mål er, som vi ved, at slippe af med en variabel. Men vi ved, at nævnerens værdi ikke må være nul, for så ville vi igen få et ubestemt udtryk. Brøken forlænger vi med et sådant udtryk, at der ikke opstår nul i nævneren. I dette tilfælde betød det at forlænge den med udtrykket med den højeste eksponent i nævneren.

Vi kan altså sige, at grænseværdien vil følge den funktion, der vokser hurtigere i størrelsesorden. Pas dog på fortegnene, også når vi regner med uendelig, skal vi bevare fortegnet:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$