Граница на редица

Границата на редица е числото, към което дадена редица се приближава в безкрайността. Тя е нещо като предшественик на границата на функция, която има голямо значение в математическия анализ.

Кратко въведение в границите

Границата на редица е числото, към което дадена редица от числа непрекъснато се приближава (а понякога накрая го и достига). Най-добре е да разгледаме чертеж на редицата, зададена с правилото $a_n=\frac{1}{n}$:

На чертежа виждаме, че членовете на редицата все повече и повече се приближават към нула. Колкото по-голямо е n, толкова по-малка е стойността на a_n и толкова повече се приближава към нула. Графиката никога не докосва хоризонталната ос, защото равенството 1/n = 0 никога няма да е изпълнено (където n е естествено число). Въпреки това си струва да разберем към кое число се приближава цялата редица. Въпросът може да бъде: ако непрекъснато увеличаваме n, към кое число ще се приближава стойността на редицата? Ако приближим n към безкрайност, каква стойност ще има членът на редицата? Точно това решават границите. Записваме я със знака lim. В долния индекс е написано към кое число се приближава n, а при редиците това винаги е безкрайност. Целият запис може да изглежда например така:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Четем: „Границата на редицата едно върху n, когато n се стреми към безкрайност, е нула.“ Още няколко тривиални примера: колко е границата на редицата a_n = n? Това е проста редица, в която a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 и т.н. Към кое число ще се приближават членовете на редицата в безкрайността? Колкото по-голямо е n, толкова по-голямо е a_n, така че границата е безкрайност.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Вероятно интуитивно се досещаш, че границата на редицата a_n = n² също е безкрайност. Тази редица расте още по-бързо от предишната. А редицата $a_n=\frac{1}{2n}$ клони към нула още по-бързо от първата примерна редица.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Определение на крайна граница на редица

Време е да определим границата на редица по-точно.

Редицата ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ има крайна граница a (клони към a ∈ ℝ, т.е. е сходяща), ако за всяко ϵ > 0 съществува n₀ ∈ ℕ такова, че за всяко n>n₀ е изпълнено |a_n − a| < ϵ.

Използват се записите:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ при }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

Това е определението, а сега да го обясним. За целта ни трябва чертеж на някоя редица, затова избираме например следната:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

И нейната графика:

От графиката ясно се вижда, че редицата е сходяща към пет, т.е. че границата на тази редица е пет. Преди да започна да показвам определението на границата върху тази редица, ще добавя в графиката малко цветове:

Вече знаем, че границата на тази редица е пет. В първата част на определението се говори за ϵ>0, т.е. за някакво епсилон, което е по-голямо от нула. Епсилон тук е околността на границата, околността на точка. По-голямо от нула е, защото околността не може да бъде отрицателна, нито нулева. На чертежа тази околност е изобразена с хоризонталните зелени линии върху оста y. Точката тук е стойността пет, а околността на точката са зелените линии върху оста y. Околността като такава е определена в двете посоки, нагоре и надолу. Тази въображаема ивица, ограничена от зелените хоризонтални линии, сега ще ни трябва. На чертежа е ϵ = 1.

Нашата цел е на долната хоризонтална ос да намерим такова число n₀, което да раздели долната ос на две части, като трябва всички членове на редицата вдясно от числото n₀ да се намират в тази зелена ивица. Къде се намират членовете вляво от n₀, не е съществено, не е нужно да търсим най-малкото n₀, за което определението е изпълнено. На чертежа е n₀ = 12.

Какво всъщност означава, че един член на редицата е в зелената ивица? Това, че разстоянието му до границата (в случая до числото пет) е най-много епсилон. И точно това казва определението: |a_n − a|<ϵ. Напомням, че стойността a е границата, а в нашия случай a = 5. Нека пресметнем стойността на петнадесетия член:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Сега заместваме в |a_n − a|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Виждаме, че неравенството е изпълнено. Тази точка удовлетворява определението. Числото 0,3125 е разстоянието между петнадесетия член на редицата и границата на редицата. На чертежа това разстояние е отбелязано с късата лилава отсечка. Ако проверим по този начин всички числа, по-големи от n₀, ще установим, че неравенството винаги е изпълнено. Така числото a = 5 удовлетворява определението за граница на тази редица.

В определението обаче има нещо важно. Там пише, че за всяко ϵ>0 можем да намерим числото n₀. Т.е. за произволно голямо епсилон, но най-вече за произволно малко епсилон. Колкото и да намалим епсилон (но то остава положително), пак трябва да можем да намерим n₀.

Нека опитаме да намалим епсилон до по-малка стойност. Какво се случва? Зелената ивица, в която трябва да попаднем, се стеснява. Това изобщо не ни пречи, просто увеличаваме стойността на n₀ – преместваме го надясно. Стесняването и преместването са показани на следния чертеж:

Това преместване нагледно показва поведението на границата. От границата очакваме членовете на редицата постепенно да се приближават към нея, т.е. разстоянието им до границата непрекъснато да намалява. (Разстоянието до границата е това, което преди малко пресметнахме, лилавата линия на чертежа.) Ако разстоянието непрекъснато намалява и членовете се приближават към границата, в някой момент те трябва да се окажат по-близо до границата от епсилон. И така намираме нашата стойност n₀. Ако пък изберем по-голямо епсилон, можем да изберем по-малко n₀:

В началото споменах, че редицата непрекъснато се приближава към границата си, но никога не я докосва. Редицата обаче може да докосне границата си и дори може да приема стойността на границата безброй пъти. Например константната редица a_n = 1 има във всяка точка стойност едно и границата ѝ също е едно.

Показване, че граница не съществува

Нека променим редицата така, че да съответства на следната графика: (самото правило сега не е съществено)

Редицата се държи както в предишния случай, с изключение на десетия, двадесетия, тридесетия и т.н. член (нека предположим, че тези членове винаги са равни на 3,5 – нито растат, нито намаляват). Тези членове сякаш са извън ритъма. В чертежа съм начертал две околности, епсилон едно и две. Както виждаме, за ϵ₂ (по-голямото епсилон) можем да намерим такова n₀, че всички следващи членове да са в зелената ивица. Но когато намалим епсилон до ϵ₁, вече не можем да намерим такова n₀ – всеки десети член ще бъде извън тази околност. Тази редица няма граница в точката пет (и няма граница и никъде другаде).

Примери за други граници

Пример за редица, която няма никаква граница, е a_n = sin n, изобразена на следния чертеж:

Виждаме, че редицата не е сходяща към никое число, членовете ѝ непрекъснато намаляват и растат. Такава редица наричаме разходяща.

Досега показахме сходящи редици, които се приближаваха към границата си от една страна. Редицата обаче може да се приближава към границата и от двете страни, както показва тази редица

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

И тази редица е сходяща към нула.

Безкрайна граница

Досега говорихме за крайна граница, т.е. за случая, когато редицата се приближава към някое реално число. А какво става с редицата a_n = n? Към кое реално число се приближава тя? Разгледай графиката:

Очевидно не се приближава към никое реално число, а расте неограничено, расте до безкрайност. Такава редица има граница безкрайност и казваме, че тази граница е безкрайна. Определението за безкрайна граница е просто. Какво означава, че редицата расте до безкрайност? Че когато изберем някакво реално число A, колкото и да е голямо, винаги можем да намерим индекс n₀ такъв, че всички членове на редицата след този член са по-големи от числото A. Накратко, ако изберем праг A, то от някое място нататък всички членове на редицата са по-големи от това A. Записано математически:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

В началото имаме „за всяко A“, т.е. за всички прагове, които бихме искали да изберем. След това идва екзистенциалният квантор, който казва, че трябва да съществува индекс n₀, за който е изпълнено: ако n е по-голямо от n₀, то стойността на члена a_n е по-голяма от прага, който сме избрали в началото, т.е. A. Подобно е определението за граница минус безкрайност.

Методи за пресмятане на граници

Вече знаем няколко основни метода за пресмятане на граница на редица. Различни видоизменения на редицата a_n = n, например

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

имат граница плюс безкрайност. А редиците от вида

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

имат граница нула. Сега ще изброим някои основни правила за пресмятане на граници на редици. Да предположим, че е изпълнено

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Тогава са в сила и следните равенства:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

Първата формула можем да приложим в следния пример:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

А какво правим, когато имаме такъв пример?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Тук възниква проблем, защото изразът в числителя в безкрайността се приближава към безкрайност, а изразът в знаменателя също се приближава към безкрайност. Когато обаче имаме безкрайност и в числителя, и в знаменателя, получаваме т.нар. неопределеност. Просто не можем да определим на какво е равен този израз:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Нашата задача е да преобразуваме израза така, че тази неопределеност да не възниква. Ако успеем да премахнем променливата n от знаменателя или от числителя, можем да получим израз, в който има само една безкрайност.

Първо преобразуваме израза, като разделим всеки член на променливата n, т.е. разширяваме дробта с израза 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Виждаме, че в знаменателя вече няма променлива n и затова изразът в знаменателя в безкрайността не се приближава към безкрайност. Според предишните формули можем да разложим цялата граница на няколко по-малки, като пресметнем поотделно границите на всички изрази, а резултатите съберем и разделим.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Така стигнахме до положение, в което вече можем да пресметнем всички граници. Нека го направим.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Границата на тази редица е числото 1,5.

Да опитаме още един пример:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Тук можем или да използваме същия метод като преди, или да опитаме да разсъждаваме логически. Функцията n² ще дърпа редицата нагоре много по-бързо, отколкото функцията n я дърпа надолу. Функцията n² е много по-силна и затова целият израз ще има граница безкрайност. Нека го и пресметнем. Отново разделяме всеки член на n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Още няколко думи за това защо делихме на n, а не например на n², което също се среща в израза. Нашата цел, както знаем, е да се отървем от някоя променлива. Знаем обаче, че стойността на знаменателя не бива да е нула, защото отново ще получим неопределеност. Дробта разширяваме с такъв израз, че в знаменателя да не се получи нула. В този случай това означаваше да я разширим с израза с най-голям показател в знаменателя.

Можем да кажем, че границата се определя от функцията, която расте с по-висок порядък. Внимавай обаче със знаците – и при действия с безкрайност трябва да запазим знака:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$