Límite de una sucesión

El límite de una sucesión representa el número al que se acerca una sucesión dada en el infinito. El límite de una sucesión es una especie de antesala del límite de una función, que tiene gran importancia en el análisis matemático.

Breve introducción a los límites

El límite de una sucesión representa el número al que se acerca continuamente una sucesión de números dada (o que incluso llega a alcanzar al final). Lo mejor será una figura que represente la sucesión dada por la fórmula $a_n=\frac{1}{n}$:

En la figura vemos que los términos de la sucesión se acercan cada vez más a cero. Cuanto mayor es n, menor es el valor de a_n y más se acerca a cero. La gráfica nunca toca el eje horizontal, porque nunca se cumplirá la ecuación 1/n = 0 (donde n es un número natural). Sin embargo, merece la pena averiguar a qué número se acerca toda la sucesión. La pregunta puede ser: si aumentamos n continuamente, ¿a qué número se acercará el valor de la sucesión? Si acercamos n al infinito, ¿qué valor tendrá el término de la sucesión? Eso es exactamente lo que resuelven los límites. Lo escribimos con el comando lim. En el subíndice indicamos a qué número se acerca n; en las sucesiones será siempre al infinito. Toda la notación puede ser, por ejemplo, así:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Se lee: «El límite de la sucesión uno partido por n cuando n tiende a infinito es cero». Algunos ejemplos triviales más: ¿cuál es el límite de la sucesión a_n = n? Es una sucesión sencilla, en la que a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766, etc. ¿A qué número se acercarán los términos de la sucesión en el infinito? Cuanto mayor es n, mayor es a_n, así que el límite será infinito.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Seguramente intuyes que el límite de la sucesión a_n = n² también será infinito. Esta sucesión crecerá todavía más deprisa que la anterior. En cambio, el límite de la sucesión $a_n=\frac{1}{2n}$ bajará hacia cero todavía más deprisa que la primera sucesión de ejemplo.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Definición de límite finito de una sucesión

Es hora de definir con precisión el límite de una sucesión.

Una sucesión ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ tiene límite finito a (converge al límite a ∈ ℝ, es convergente) si para todo ϵ > 0 existe n₀ ∈ ℕ tal que para todo n>n₀ se cumple |a_n − a| < ϵ.

Las notaciones que se utilizan son:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ cuando }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

La definición es bonita; ahora vamos a explicarla. Para ello necesitaremos la figura de alguna sucesión, así que elegimos, por ejemplo, la siguiente:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

Y su gráfica:

En la gráfica se ve claramente que la sucesión converge a cinco, es decir, que el límite de esta sucesión es cinco. Antes de empezar a ilustrar la definición de límite con esta sucesión, añado un poco de color a la gráfica:

Ya sabemos que el límite de esta sucesión es cinco. En la primera parte de la definición se habla de ϵ>0, es decir, de un épsilon mayor que cero. Aquí el épsilon representa el entorno del límite, el entorno de un punto. Es mayor que cero porque un entorno no puede ser negativo ni nulo. En la figura este entorno está representado por las líneas horizontales verdes sobre el eje y. El punto es aquí el valor cinco y el entorno del punto son esas líneas verdes sobre el eje y. El entorno como tal está definido en ambos sentidos, hacia arriba y hacia abajo. Esta franja imaginaria delimitada por las líneas verdes horizontales nos hará falta ahora. En la figura se cumple ϵ = 1.

Nuestro objetivo es encontrar en el eje horizontal inferior un número n₀ que divida el eje en dos partes. Debe cumplirse que todos los términos de la sucesión a la derecha de ese número n₀ estén dentro de esta franja verde. Dónde están los términos a la izquierda de n₀ no importa, y no hace falta buscar el menor n₀ para el que se cumple la definición. En la figura se cumple n₀ = 12.

¿Qué significa en realidad que un término de la sucesión esté en la franja verde? Que dista del límite (en este caso, del número cinco) como máximo épsilon. Y eso es exactamente lo que dice la definición: |a_n − a|<ϵ. Te recuerdo que el valor a representa el límite, así que en nuestro caso se cumple a = 5. Probemos a calcular el valor del decimoquinto elemento:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Ahora sustituimos en la relación |a_n − a|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Vemos que la inecuación se cumple. Este punto cumple la definición. El número 0,3125 expresa la distancia entre el decimoquinto término de la sucesión y el límite de la sucesión. En la figura esta distancia está resaltada con un segmento corto de color violeta. Si comprobáramos así todos los números mayores que n₀, veríamos que esta inecuación se sigue cumpliendo. Por tanto, el número a = 5 satisface la definición de límite de esta sucesión.

En la definición hay, sin embargo, algo importante. Dice que para cada ϵ>0 somos capaces de encontrar ese número n₀. Es decir, para un épsilon arbitrariamente grande, pero sobre todo para un épsilon arbitrariamente pequeño. Por pequeño que hagamos el épsilon (pero siempre positivo), tenemos que ser capaces de encontrar n₀.

Probemos, pues, a reducir el épsilon a un valor menor. ¿Qué ocurre? La franja verde en la que tenemos que caber se hace más estrecha. Pero eso no nos molesta en absoluto: simplemente aumentamos el valor de n₀, es decir, lo desplazamos hacia la derecha. La reducción y el desplazamiento se ilustran en la siguiente figura:

Este desplazamiento representa muy bien el comportamiento del límite. Esperamos que los términos de la sucesión se vayan acercando poco a poco al límite, que su distancia al límite disminuya continuamente. (La distancia al límite es lo que acabamos de calcular, ese segmento violeta de la figura.) Si la distancia disminuye continuamente y los términos se acercan al límite, en algún momento tendrán que llegar a un estado en el que estén más cerca del límite que épsilon. Y con ello hemos encontrado nuestro valor n₀. Si, por el contrario, elegimos un épsilon mayor, podemos elegir un n₀ menor:

Al principio mencioné que la sucesión se acerca continuamente a su límite, pero nunca lo toca. Sin embargo, una sucesión sí puede tocar su límite, e incluso puede tomar el valor del límite infinitas veces. Por ejemplo, la sucesión constante a_n = 1 tendrá en todos los puntos el valor uno y su límite será también uno.

Ilustración de la no existencia del límite

Modifiquemos la sucesión para que se ajuste a la siguiente gráfica: (la fórmula en sí no importa por ahora)

La sucesión se comporta igual que en el caso anterior, salvo en los términos décimo, vigésimo, trigésimo, etc. (supongamos que estos términos son siempre iguales a 3,5, sin crecer ni decrecer). Estos términos están como fuera de ritmo. En la figura he dibujado dos entornos, épsilon uno y dos. Como vemos, para ϵ₂ (el entorno de épsilon mayor) somos capaces de encontrar un n₀ tal que todos los términos siguientes estén en la franja verde. Pero si reducimos el valor de épsilon a ϵ₁, ya no encontramos ese n₀: uno de cada diez términos estará fuera de este entorno. Esta sucesión no tendría límite en el punto cinco (y tampoco tiene límite en ningún otro).

Ejemplos de otros límites

Un ejemplo de sucesión que no tiene ningún límite es a_n = sen n, representada en la siguiente figura:

Vemos que la sucesión no converge a ningún número: sus términos no dejan de bajar y subir. Una sucesión así se llama divergente.

Hasta ahora hemos visto sucesiones convergentes que convergían a su límite desde un solo lado. Pero una sucesión puede acercarse al límite desde ambos lados, como muestra esta sucesión

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Esta sucesión también convergerá a cero.

Límite infinito

Hasta ahora hemos hablado del límite finito, es decir, del caso en que la sucesión se acerca a algún número real. Pero ¿qué ocurre con una sucesión como a_n = n? ¿A qué número real se acerca la sucesión? Observa la gráfica:

Evidentemente no se acerca a ningún número real, sino que crece por encima de cualquier cota, crece hasta el infinito. Una sucesión así tiene por límite el infinito, y de ese límite decimos que es un límite infinito. La definición de límite infinito es sencilla. ¿Qué significa que la sucesión crece hasta el infinito? Que si elegimos un número real A, tan grande como queramos, siempre encontramos un índice n₀ tal que todos los términos de la sucesión posteriores a este término son mayores que ese número A. En resumen, si elegimos una cota A, a partir de cierto punto de la sucesión todos los términos son mayores que A. Escrito matemáticamente:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Al principio tenemos «para todo A», es decir, para todas las cotas que quisiéramos elegir. Después viene el cuantificador existencial, que dice que debe existir un índice n₀ tal que, si n es mayor que este n₀, entonces el valor del término a_n es mayor que la cota que elegimos al principio, es decir, A. Habrá una definición similar para el límite igual a menos infinito.

Métodos para calcular límites

Ya conocemos varios métodos básicos para calcular el límite de una sucesión. Distintas variantes de la sucesión a_n = n, como por ejemplo

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

tienen límite más infinito. En cambio, las sucesiones del tipo

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

tienen límite cero. Ahora veamos algunas relaciones básicas para operar con sucesiones. Supongamos que se cumple

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Entonces se cumplen también estas relaciones:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

La primera fórmula podríamos aplicarla en el siguiente ejemplo:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

¿Y qué ocurre en el caso de un ejemplo como este?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Aquí surge un problema: la expresión del numerador se acerca al infinito en el infinito, y la expresión del denominador también se acerca al infinito. Pero si tenemos infinito tanto en el numerador como en el denominador, obtenemos lo que se llama una indeterminación. Simplemente no podemos determinar a qué es igual esta expresión:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Nuestra tarea será transformar la expresión de modo que no aparezca esta indeterminación. Si logramos eliminar la variable n del denominador o del numerador, podemos obtener ya una expresión en la que haya un solo infinito.

Primero transformamos la expresión dividiendo cada término entre la variable n, es decir, amplificamos la fracción por la expresión 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Vemos que en el denominador ya no aparece la variable n, y por tanto la expresión del denominador no se acerca al infinito en el infinito. Según las fórmulas anteriores, podemos descomponer todo el límite en varios más pequeños calculando por separado los límites de todas las expresiones, sumando los resultados y dividiendo.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Hemos llegado así a una situación en la que ya sabemos calcular todos los límites. Hagámoslo.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

El límite de esta sucesión es el número 1,5.

Probemos otro ejemplo:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Aquí podemos usar el mismo procedimiento que antes o podemos intentar recurrir a un razonamiento lógico. La función n² tirará de la sucesión hacia arriba mucho más deprisa de lo que la función n la tirará hacia abajo. La función n² es mucho más fuerte, y por eso toda la expresión tendrá límite infinito. Probemos también a calcularlo. De nuevo dividimos cada expresión entre n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Unas palabras más sobre por qué hemos dividido entre n y no, por ejemplo, entre n², que también aparece en la expresión. Nuestro objetivo, como sabemos, es deshacernos de alguna variable. Sin embargo, sabemos que el valor del denominador no puede ser cero, porque obtendríamos de nuevo una indeterminación. Amplificaremos la fracción con una expresión tal que en el denominador no aparezca cero. En este caso eso significaba amplificarla con la expresión de mayor exponente en el denominador.

Podemos decir que el límite se rige por la función de mayor orden de crecimiento. Pero cuidado con los signos: incluso al operar con el infinito debemos conservar el signo:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$