Limite di una successione

Il limite di una successione rappresenta il numero a cui una data successione si avvicina all’infinito. Il limite di una successione è una sorta di preludio al limite di una funzione, che ha grande importanza nell’analisi matematica.

Breve introduzione ai limiti

Il limite di una successione rappresenta il numero a cui una data successione di numeri si avvicina sempre di più (o che eventualmente alla fine raggiunge). Il modo migliore per capirlo è una figura che rappresenta la successione data dalla formula $a_n=\frac{1}{n}$:

Nella figura vediamo che i termini della successione si avvicinano sempre di più a zero. Più grande è n, più piccolo è il valore di a_n e più si avvicina a zero. Il grafico non toccherà mai l’asse orizzontale, perché non varrà mai l’uguaglianza 1/n = 0 (dove n è un numero naturale). Vale comunque la pena di scoprire a quale numero si avvicina l’intera successione. La domanda può quindi essere: se continuiamo ad aumentare n, a quale numero si avvicinerà il valore della successione? Se facciamo avvicinare n all’infinito, che valore avrà il termine della successione? È proprio di questo che si occupano i limiti. Lo scriviamo con il simbolo lim. Nell’indice in basso scriviamo a quale numero tende n; per le successioni sarà sempre l’infinito. L’intera scrittura può essere per esempio questa:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Si legge: «Il limite della successione uno fratto n per n che tende all’infinito è zero». Qualche altro esempio banale: qual è il limite della successione a_n = n? È una successione semplice, in cui a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 ecc. A quale numero si avvicinano i termini della successione all’infinito? Più grande è n, più grande è a_n, quindi il limite sarà infinito.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Intuitivamente avrai già capito che il limite della successione a_n = n² sarà anch’esso infinito. Questa successione crescerà ancora più velocemente della precedente. Il limite della successione $a_n=\frac{1}{2n}$, invece, scenderà verso zero ancora più velocemente della prima successione di esempio.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Definizione di limite finito di una successione

È ora di definire con precisione il limite di una successione.

La successione ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ha limite finito a (converge al limite a ∈ ℝ, è convergente) se per ogni ϵ > 0 esiste n₀ ∈ ℕ^* tale che per ogni n>n₀ vale |a_n − a| < ϵ.

Le scritture usate sono:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ per }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

È una bella definizione, ora spieghiamola. Ci servirà la figura di una successione, quindi scegliamo per esempio la seguente:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

E il suo grafico:

Dal grafico si vede bene che la successione converge a cinque, cioè che il limite di questa successione è cinque. Prima di cominciare a illustrare la definizione di limite su questa successione, aggiungo al grafico un po’ di colori:

Sappiamo già che il limite di questa successione è cinque. Nella prima parte della definizione si parla di ϵ>0, cioè di un epsilon maggiore di zero. Qui l’epsilon rappresenta l’intorno del limite, l’intorno di un punto. È maggiore di zero perché un intorno non può essere negativo né nullo. Nella figura questo intorno è rappresentato dalle linee orizzontali verdi sull’asse y. Il punto è qui il valore cinque e l’intorno del punto sono quelle linee verdi sull’asse y. L’intorno in quanto tale è definito in entrambe le direzioni, verso l’alto e verso il basso. Questa striscia immaginaria delimitata dalle linee orizzontali verdi ci servirà adesso. Nella figura vale ϵ = 1.

Il nostro obiettivo è trovare sull’asse orizzontale in basso un numero n₀ che divida l’asse in due parti. Deve valere che tutti i termini della successione a destra di n₀ si trovino in questa striscia verde. Dove si trovano i numeri a sinistra di n₀ non è importante e non dobbiamo cercare il più piccolo n₀ per cui questa definizione vale. Nella figura vale n₀ = 12.

Che cosa significa in realtà che un termine della successione sta nella striscia verde? Significa che dista dal limite (in questo caso dal numero cinque) al massimo epsilon. Ed è esattamente ciò che dice la definizione: |a_n − a|<ϵ. Ricordo che il valore a indica il limite, quindi nel nostro caso vale a = 5. Proviamo a calcolare il valore del quindicesimo termine:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Ora sostituiamo nella relazione |a_n − a|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Vediamo che la disequazione è verificata. Questo punto soddisfa la definizione. Il numero 0,3125 esprime la distanza tra il quindicesimo termine della successione e il limite della successione. Nella figura questa distanza è evidenziata da un breve segmento viola. Se verificassimo in questo modo tutti i numeri maggiori di n₀, scopriremmo che la disequazione continua a valere. Il numero a = 5 soddisfa quindi la definizione di limite di questa successione.

Nella definizione c’è però una cosa importante. Dice che per ogni ϵ>0 siamo in grado di trovare quel numero n₀. Quindi per un epsilon grande a piacere, ma soprattutto per un epsilon piccolo a piacere. Per quanto piccolo (ma sempre positivo) rendiamo l’epsilon, dobbiamo comunque essere in grado di trovare n₀.

Proviamo allora a ridurre l’epsilon a un valore più piccolo. Che cosa succede? La striscia verde in cui dobbiamo stare si restringe. Questo però non è affatto un problema: basta aumentare il valore di n₀, cioè spostarlo a destra. Il restringimento e lo spostamento sono illustrati dalla figura seguente:

Questo spostamento mostra bene il comportamento del limite. Dal limite ci aspettiamo che i termini della successione gli si avvicinino gradualmente, che la loro distanza dal limite diminuisca continuamente. (La distanza dal limite è ciò che abbiamo calcolato poco fa, quella linea viola nella figura.) Se la distanza diminuisce continuamente e i termini si avvicinano al limite, a un certo punto la loro distanza dal limite deve diventare minore di epsilon. E così abbiamo trovato il nostro valore n₀. Se invece scegliamo un epsilon più grande, possiamo scegliere un n₀ più piccolo:

All’inizio ho detto che la successione si avvicina continuamente al suo limite, ma non lo tocca mai. Una successione, però, il suo limite può toccarlo, anzi può assumerlo infinite volte. Per esempio, la successione costante a_n = 1 avrà in ogni punto valore uno e avrà anche limite uno.

Mostrare che il limite non esiste

Proviamo a modificare la successione in modo che corrisponda al grafico seguente (la formula in sé per ora non è importante):

La successione si comporta come nel caso precedente, tranne che per il decimo, il ventesimo, il trentesimo ecc. termine della successione (supponiamo che questi termini siano sempre uguali al numero 3,5, cioè che non crescano né diminuiscano). Questi termini sono per così dire fuori ritmo. Nella figura ho disegnato due intorni, epsilon uno e due. Come vediamo, per ϵ₂ (l’intorno con l’epsilon più grande) siamo in grado di trovare un n₀ tale che tutti i termini successivi stiano nella striscia verde. Ma se riduciamo il valore di epsilon a ϵ₁, un tale n₀ non lo troviamo più: un termine ogni dieci sarà fuori da questo intorno. Questa successione non avrebbe limite uguale a cinque (e non ha limite nemmeno altrove).

Esempi di altri limiti

Un esempio di successione che non ha alcun limite è a_n = sen n, rappresentata nella figura seguente:

Vediamo che la successione non converge a nessun numero, i termini della successione continuano a diminuire e a crescere. Una successione di questo tipo si chiama divergente.

Finora abbiamo visto successioni convergenti che convergevano al proprio limite da un lato solo. Una successione, però, può avvicinarsi al limite da entrambi i lati, come mostra questa successione

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Anche questa successione convergerà a zero.

Limite infinito

Finora abbiamo parlato di limite finito, cioè del caso in cui la successione si avvicina a un numero reale. Ma che dire di una successione come a_n = n? A quale numero reale si avvicina? Guarda il grafico:

Evidentemente non si avvicina a nessun numero reale, ma cresce oltre ogni limite, cresce all’infinito. Una successione di questo tipo ha quindi limite all’infinito e di un limite così diciamo che è infinito. La definizione di limite infinito è semplice. Che cosa significa che una successione cresce all’infinito? Che se scegliamo un numero reale A, grande a piacere, troviamo sempre un indice n₀ tale che tutti i termini della successione che vengono dopo questo termine sono maggiori del numero A. In breve, se scegliamo una soglia A, da un certo punto della successione in poi tutti i termini sono maggiori di questo A. Scritto in forma matematica:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

All’inizio abbiamo «per ogni A», cioè per tutte le soglie che potremmo voler scegliere. Poi abbiamo il quantificatore esistenziale, che dice che deve esistere un indice n₀ per cui vale che, se n è maggiore di questo n₀, allora il valore del termine a_n è maggiore della soglia scelta all’inizio, cioè di A. Per il limite uguale a meno infinito la definizione è analoga.

Metodi per calcolare i limiti

Conosciamo già alcuni metodi di base per calcolare il limite di una successione. Diverse varianti della successione a_n = n, come per esempio

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

hanno limite più infinito. Le successioni del tipo

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

hanno invece limite zero. Vediamo ora alcune relazioni di base per fare i calcoli con le successioni. Supponiamo che valga

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Allora valgono anche queste relazioni:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

La prima formula potremmo applicarla nel seguente esempio:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

E che cosa facciamo quando abbiamo un esempio come questo?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Qui nasce un problema, perché l’espressione al numeratore tende all’infinito e anche l’espressione al denominatore tende all’infinito. Ma se abbiamo l’infinito sia al numeratore sia al denominatore, otteniamo una cosiddetta forma indeterminata. In breve, non possiamo stabilire a che cosa sia uguale questa espressione:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Il nostro compito sarà modificare l’espressione in modo che questa forma indeterminata non compaia. Se riusciamo a eliminare la variabile n dal denominatore o dal numeratore, possiamo ottenere un’espressione in cui c’è un solo infinito.

Prima modifichiamo l’espressione dividendo ogni termine per la variabile n, ovvero moltiplicando numeratore e denominatore per 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Vediamo che al denominatore non c’è più la variabile n, quindi l’espressione al denominatore non tende all’infinito. Secondo le formule precedenti possiamo scomporre l’intero limite in alcuni limiti più piccoli: calcoliamo separatamente i limiti di tutte le espressioni, sommiamo i risultati e li dividiamo.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Ora siamo in una situazione in cui sappiamo già calcolare tutti i limiti. Facciamolo.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Il limite di questa successione è il numero 1,5.

Proviamo con un altro esempio:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Qui possiamo usare lo stesso procedimento di prima oppure provare a ragionare. La funzione n² tirerà la successione verso l’alto molto più velocemente di quanto la funzione n la tiri verso il basso. La funzione n² è molto più forte e quindi l’intera espressione avrà limite infinito. Proviamo anche a calcolarlo. Dividiamo di nuovo ogni termine per n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Ancora qualche parola su perché abbiamo diviso per n e non, per esempio, per n², che compare anch’esso nell’espressione. Il nostro obiettivo, come sappiamo, è liberarci di una variabile. Sappiamo però che il valore del denominatore non deve essere zero, perché otterremmo di nuovo una forma indeterminata. Moltiplichiamo numeratore e denominatore per un’espressione tale che al denominatore non compaia zero. In questo caso ciò significava moltiplicarli per l’espressione con l’esponente più alto al denominatore.

Possiamo quindi dire che il limite seguirà la funzione che cresce con ordine di infinito superiore. Attenzione però ai segni: anche quando calcoliamo con l’infinito dobbiamo mantenere il segno:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$