Limita unui șir

Limita unui șir este numărul de care se apropie un șir dat „la infinit”. Limita unui șir este într-un fel o pregătire pentru limita unei funcții, care are o mare importanță în analiza matematică.

Scurtă introducere în limite

Limita unui șir este numărul de care se apropie tot mai mult un șir dat de numere (sau pe care, eventual, îl și atinge în cele din urmă). Cel mai bine se vede pe un desen care arată șirul dat prin formula $a_n=\frac{1}{n}$:

În desen vedem că termenii șirului se apropie tot mai mult de zero. Cu cât n este mai mare, cu atât valoarea a_n este mai mică și cu atât se apropie mai mult de zero. Graficul nu atinge niciodată axa orizontală, pentru că nu va fi niciodată adevărată ecuația 1/n = 0 (unde n este un număr natural nenul). Totuși, merită să aflăm de ce număr se apropie întregul șir. Întrebarea poate fi deci: dacă mărim n tot mai mult, de ce număr se va apropia valoarea șirului? Dacă îl apropiem pe n de infinit, ce valoare va avea termenul șirului? Exact de asta se ocupă limitele. O notăm cu simbolul $lim$. Dedesubt scriem spre ce număr tinde n, iar la șiruri acesta va fi întotdeauna infinitul. Întreaga scriere poate arăta, de exemplu, așa:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Citim: „Limita șirului unu supra n când n tinde la infinit este zero.” Câteva exemple triviale în plus: care este limita șirului a_n = n? Este un șir simplu, în care a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 etc. De ce număr se vor apropia termenii șirului la infinit? Cu cât n este mai mare, cu atât a_n este mai mare, deci limita va fi infinit.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Probabil intuiești că limita șirului a_n = n² va fi tot infinit. Acest șir crește și mai repede decât cel precedent. În schimb, șirul $a_n=\frac{1}{2n}$ va scădea spre zero și mai repede decât primul șir dat ca exemplu.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Definiția limitei finite a unui șir

Este timpul să definim cu adevărat limita unui șir.

Șirul (a_n)_{n ≥ 1}, a_n ∈ ℝ, are limita finită a (converge la limita a ∈ ℝ, este convergent) dacă pentru orice ϵ > 0 există n₀ ∈ ℕ^∗ astfel încât pentru toți n>n₀ are loc |a_n − a| < ϵ.

Notațiile folosite sunt:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ pentru }n\to \mathrm{\infty }$$

$$(a_n{)}_{n\ge 1}\to a$$

Definiția sună bine, acum să o explicăm. Pentru asta ne trebuie desenul unui șir, așa că alegem, de exemplu, următorul șir:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

Și graficul lui:

Din grafic se poate vedea frumos că șirul converge la cinci, adică limita acestui șir este cinci. Înainte să încep să ilustrez definiția limitei pe acest șir, mai adaug în grafic puțină culoare:

Știm deja că limita acestui șir este cinci. În prima parte a definiției se vorbește despre ϵ>0, adică despre un epsilon mai mare decât zero. Epsilon reprezintă aici vecinătatea limitei, vecinătatea unui punct. Este mai mare decât zero pentru că o vecinătate nu poate fi nici negativă, nici nulă. În desen, această vecinătate este reprezentată de liniile orizontale verzi de pe axa Oy. Punctul este aici valoarea cinci, iar vecinătatea punctului sunt acele linii verzi de pe axa Oy. Vecinătatea ca atare este definită în ambele sensuri, în sus și în jos. Banda imaginară delimitată de liniile orizontale verzi ne va trebui acum. În desen, ϵ = 1.

Scopul nostru este să găsim pe axa orizontală de jos un număr n₀ care să împartă axa în două părți. Trebuie ca toți termenii șirului din dreapta lui n₀ să se afle în această bandă verde. Unde se află termenii din stânga lui n₀ nu contează, nu trebuie să căutăm cel mai mic n₀ pentru care definiția este valabilă. În desen, n₀ = 12.

Ce înseamnă de fapt că un termen al șirului se află în banda verde? Înseamnă că are față de limită (în acest caz față de numărul cinci) distanța cel mult epsilon. Și exact asta spune definiția: |a_n − a|<ϵ. Reamintesc că valoarea a reprezintă limita, deci în cazul nostru a = 5. Să încercăm să calculăm valoarea celui de-al cincisprezecelea termen:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Acum înlocuim în relația |a_n − a|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Vedem că inegalitatea este adevărată. Acest punct îndeplinește definiția. Numărul 0,3125 exprimă distanța dintre al cincisprezecelea termen al șirului și limita șirului. În desen, această distanță este evidențiată printr-un segment scurt violet. Dacă am testa în felul acesta toate numerele mai mari decât n₀, am constata că inegalitatea rămâne adevărată. Numărul a = 5 satisface deci definiția limitei acestui șir.

În definiție există însă un lucru important. Ea spune că pentru fiecare ϵ>0 trebuie să putem găsi acel număr n₀. Deci pentru un epsilon oricât de mare, dar mai ales pentru un epsilon oricât de mic. Oricât de mic (dar tot pozitiv) am face epsilon, tot trebuie să putem găsi n₀.

Să încercăm deci să micșorăm epsilon la o valoare mai mică. Ce se întâmplă? Banda verde în care trebuie să încăpem se îngustează. Nu ne deranjează deloc, pur și simplu mărim valoarea lui n₀ – îl deplasăm spre dreapta. Micșorarea și deplasarea sunt ilustrate în desenul următor:

Această deplasare ilustrează frumos comportamentul limitei. De la limită ne așteptăm ca termenii șirului să se apropie treptat de ea, ca distanța lor față de limită să scadă mereu. (Distanța față de limită este ceea ce am calculat adineauri, acel segment violet din desen.) Dacă distanța scade mereu și termenii se apropie de limită, la un moment dat ei trebuie să ajungă într-o stare în care sunt mai aproape de limită decât epsilon. Și astfel am găsit valoarea noastră n₀. Dacă, dimpotrivă, alegem epsilon mai mare, putem alege n₀ mai mic:

La început am menționat că șirul se apropie mereu de limita sa, dar nu o atinge niciodată. Totuși, un șir își poate atinge limita, ba chiar poate lua valoarea limitei de o infinitate de ori. De exemplu, șirul constant a_n = 1 are în fiecare punct valoarea unu, iar limita lui este tot unu.

Ilustrarea inexistenței limitei

Să modificăm definiția șirului astfel încât să corespundă următorului grafic: (formula propriu-zisă nu este importantă deocamdată)

Șirul se comportă la fel ca în cazul precedent, cu excepția celui de-al zecelea, al douăzecilea, al treizecilea etc. termen al șirului (presupunem că acești termeni sunt mereu egali cu 3,5 – nici nu cresc, nici nu scad). Acești termeni sunt oarecum în afara ritmului. În desen am trasat două vecinătăți, epsilon unu și epsilon doi. După cum vedem, pentru ϵ₂ (vecinătatea cu epsilon mai mare) putem găsi un n₀ astfel încât toți termenii următori să fie în banda verde. Dar când micșorăm epsilon la ϵ₁, nu mai găsim un astfel de n₀ – fiecare al zecelea termen va fi în afara acestei vecinătăți. Acest șir nu ar avea limita cinci (și nici nu are vreo altă limită).

Exemple de alte limite

Un exemplu de șir care nu are nicio limită este a_n = sin n, reprezentat în desenul următor:

Vedem că șirul nu converge la niciun număr, termenii șirului scad și cresc neîncetat. Un astfel de șir se numește divergent.

Până acum am arătat șiruri convergente care converg la limita lor dintr-o singură parte. Dar un șir se poate apropia de limită din ambele părți, așa cum arată acest șir

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Și acest șir va converge la zero.

Limita infinită

Până acum am vorbit despre limita finită, adică despre cazul în care șirul se apropie de un număr real. Dar ce se întâmplă cu un șir ca a_n = n? De ce număr real se apropie șirul? Privește graficul:

Evident, nu se apropie de niciun număr real, ci crește peste orice margine, crește spre infinit. Un astfel de șir are deci limita infinit, iar despre o astfel de limită spunem că este infinită. Definiția limitei infinite este simplă. Ce înseamnă că un șir crește spre infinit? Că, dacă alegem un număr real A, oricât de mare, găsim întotdeauna un rang n₀ astfel încât toți termenii șirului de după acest termen sunt mai mari decât numărul A. Pe scurt, dacă alegem o margine A, de la un anumit loc al șirului încolo toți termenii sunt mai mari decât acest A. Scris matematic:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

La început avem „pentru orice A”, adică pentru toate marginile pe care am vrea să le alegem. Apoi avem cuantificatorul existențial, care spune că trebuie să existe un rang n₀ pentru care, dacă n este mai mare decât acest n₀, atunci valoarea termenului a_n este mai mare decât marginea pe care am ales-o la început, adică A. Pentru limita minus infinit definiția este asemănătoare.

Metode de calcul al limitelor

Știm deja câteva metode de bază pentru a calcula limita unui șir. Diferite variante ale șirului a_n = n, ca de exemplu

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

au limita plus infinit. În schimb, șirurile de tipul

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

au limita zero. Acum prezentăm câteva relații de bază pentru calculul cu șiruri. Presupunem că

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Atunci au loc și relațiile:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

Prima formulă am putea-o aplica în exemplul următor:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

Dar ce facem într-un caz ca acesta?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Aici apare o problemă, pentru că expresia de la numărător tinde la infinit, iar expresia de la numitor tinde și ea la infinit. Dar dacă avem infinit și la numărător, și la numitor, obținem așa-numita formă nedeterminată. Pur și simplu nu putem stabili cu ce este egală această expresie:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Sarcina noastră va fi să transformăm expresia astfel încât această formă nedeterminată să nu apară. Dacă reușim să eliminăm variabila n de la numitor sau de la numărător, putem obține o expresie în care va fi un singur infinit.

Mai întâi transformăm expresia împărțind fiecare termen la variabila n, adică amplificăm fracția cu expresia 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Vedem că la numitor nu mai există variabila n, deci expresia de la numitor nu mai tinde la infinit. Conform formulelor precedente, putem descompune întreaga limită în mai multe limite mai mici: calculăm separat limitele tuturor expresiilor, apoi adunăm și împărțim rezultatele.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Ai ajuns astfel în situația în care putem calcula toate limitele. Să o facem.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Limita acestui șir este numărul 1,5.

Încercăm și un alt exemplu:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Aici putem folosi fie aceeași metodă ca mai înainte, fie un raționament logic. Funcția n² va trage șirul în sus mult mai repede decât îl va trage în jos funcția n. Funcția n² este mult mai puternică, așa că întreaga expresie va avea limita infinit. Încercăm să o și calculăm. Din nou împărțim fiecare termen la n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Câteva cuvinte despre motivul pentru care am împărțit la n și nu, de exemplu, la n², care apare și el în expresie. Scopul nostru, după cum știm, este să scăpăm de o variabilă. Totuși, știm că valoarea numitorului nu are voie să fie zero, pentru că am obține din nou o formă nedeterminată. Amplificăm fracția cu o expresie astfel încât la numitor să nu apară zero. În acest caz, asta a însemnat să o amplificăm cu expresia cu cel mai mare exponent de la numitor.

Putem spune deci că limita este dictată de funcția care crește cu un ordin de mărime mai repede. Atenție însă la semne, și când calculăm cu infinitul trebuie să păstrăm semnul:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$