Limiet van een rij

De limiet van een rij is het getal waar een gegeven rij in het oneindige naartoe gaat. De limiet van een rij is een soort voorloper van de limiet van een functie, die in de wiskundige analyse van groot belang is.

Korte inleiding tot limieten

De limiet van een rij is het getal waar een gegeven rij getallen steeds dichter naartoe gaat (en dat de rij uiteindelijk eventueel zelfs bereikt). Het beste is een plaatje dat de rij met het voorschrift $a_n=\frac{1}{n}$ weergeeft:

In het plaatje zien we dat de termen van de rij steeds dichter bij nul komen. Hoe groter n is, hoe kleiner de waarde van a_n is en hoe dichter die bij nul komt. De grafiek raakt de horizontale as nooit, omdat de vergelijking 1/n = 0 nooit geldt (waarbij n een natuurlijk getal is). Toch is het de moeite waard om uit te zoeken naar welk getal de hele rij toe gaat. De vraag kan dus zijn: als we n steeds groter maken, naar welk getal gaat de waarde van de rij dan toe? Als we n naar oneindig laten gaan, welke waarde heeft dan de term van de rij? Precies dat onderzoeken limieten. We schrijven een limiet op met de opdracht $lim$. Onder de limiet staat naar welk getal n toe gaat, bij rijen is dat altijd oneindig. De hele notatie kan er bijvoorbeeld zo uitzien:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

We lezen dit als: “De limiet van de rij één gedeeld door n voor n naar oneindig is nul.” Nog een paar triviale voorbeelden: wat is de limiet van de rij a_n = n? Dat is een eenvoudige rij waarbij a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 enzovoort. Naar welk getal gaan de termen van de rij in het oneindige? Hoe groter n, hoe groter a_n, dus de limiet is oneindig.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Je voelt waarschijnlijk wel aan dat de limiet van de rij a_n = n² ook oneindig is. Deze rij groeit zelfs nog sneller dan de vorige. De limiet van de rij $a_n=\frac{1}{2n}$ daalt daarentegen nog sneller naar nul dan de eerste voorbeeldrij.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Definitie van een eindige limiet van een rij

Het is tijd om de limiet van een rij goed te definiëren.

De rij ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ heeft een eindige limiet a (convergeert naar de limiet a ∈ ℝ, is convergent) als er bij elke ϵ > 0 een n₀ ∈ ℕ bestaat zodat voor alle n>n₀ geldt: |a_n − a| < ϵ.

De gebruikte notaties zijn:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ voor }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

Mooie definitie, maar nu gaan we haar uitleggen. Daarvoor hebben we een plaatje van een rij nodig, dus kiezen we bijvoorbeeld de volgende rij:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

En de grafiek ervan:

Uit de grafiek kunnen we mooi aflezen dat de rij naar vijf convergeert, dus dat de limiet van deze rij vijf is. Voordat ik aan de hand van deze rij de definitie van de limiet ga demonstreren, voeg ik nog wat kleur toe aan de grafiek:

We weten al dat de limiet van deze rij vijf is. In het eerste deel van de definitie gaat het over ϵ>0, dus over een epsilon die groter is dan nul. Epsilon stelt hier de omgeving van de limiet voor, de omgeving van een punt. Het is groter dan nul omdat een omgeving niet negatief en ook niet nul kan zijn. In het plaatje is deze omgeving weergegeven met de horizontale groene lijnen op de y-as. Het punt is hier de waarde vijf en de omgeving van het punt zijn die groene lijnen op de y-as. De omgeving als zodanig is in beide richtingen gedefinieerd, naar boven en naar beneden. Deze denkbeeldige strook tussen de groene horizontale lijnen hebben we nu nodig. In het plaatje geldt ϵ = 1.

Ons doel is om op de horizontale as onderaan zo'n getal n₀ te vinden dat de as in twee delen verdeelt. Daarbij moet gelden dat alle termen van de rij rechts van dat getal n₀ in de groene strook liggen. Waar de termen links van n₀ liggen, is niet belangrijk, we hoeven ook niet de kleinste n₀ te zoeken waarvoor de definitie geldt. In het plaatje geldt n₀ = 12.

Wat betekent het eigenlijk dat een term van de rij in de groene strook ligt? Dat hij hoogstens een afstand epsilon van de limiet (in dit geval van het getal vijf) verwijderd is. En dat is precies wat de definitie zegt: |a_n − a|<ϵ. Ik herinner je eraan dat de waarde a de limiet aanduidt, in ons geval geldt dus: a = 5. We rekenen de waarde van de vijftiende term uit:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Nu vullen we in de relatie |a_n − a|<ϵ in:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

We zien dat de ongelijkheid klopt. Dit punt voldoet aan de definitie. Het getal 0,3125 is de afstand tussen de vijftiende term van de rij en de limiet van de rij. In het plaatje is die afstand gemarkeerd met een kort paars lijnstuk. Als we zo alle getallen groter dan n₀ zouden testen, zouden we ontdekken dat deze ongelijkheid steeds geldt. Het getal a = 5 voldoet dus aan de definitie van de limiet van deze rij.

In de definitie staat echter één belangrijk ding. Er staat in dat we voor elke ϵ>0 dat getal n₀ kunnen vinden. Dus voor willekeurig grote epsilon, maar vooral voor willekeurig kleine epsilon. Hoe klein we epsilon ook maken (maar nog steeds positief), we moeten altijd een n₀ kunnen vinden.

We proberen epsilon dus te verkleinen. Wat gebeurt er? De groene strook waar we in moeten passen wordt smaller. Dat vinden we helemaal niet erg, we vergroten gewoon de waarde van n₀ — we schuiven hem naar rechts. Het smaller worden en het opschuiven laat het volgende plaatje zien:

Deze verschuiving laat mooi het gedrag van de limiet zien. Van een limiet verwachten we dat de termen van de rij er geleidelijk naartoe gaan, dat hun afstand tot de limiet steeds kleiner wordt. (De afstand tot de limiet is wat we net berekenden, die paarse lijn in het plaatje.) Als de afstand steeds kleiner wordt en de termen de limiet naderen, moeten ze op een gegeven moment dichter bij de limiet zitten dan epsilon. En daarmee hebben we onze waarde n₀ gevonden. Kiezen we juist een grotere epsilon, dan kunnen we een kleinere n₀ kiezen:

In het begin zei ik dat een rij zijn limiet steeds nadert maar nooit bereikt. Toch kan een rij zijn limiet wel bereiken, een rij kan zijn limiet zelfs oneindig vaak aannemen. De constante rij a_n = 1 heeft bijvoorbeeld op elke plaats de waarde één en heeft ook limiet één.

Demonstratie dat een limiet niet bestaat

We passen de definitie van de rij zo aan dat ze overeenkomt met de volgende grafiek: (het voorschrift zelf is nu niet van belang)

De rij gedraagt zich net als in het vorige geval, behalve bij de tiende, twintigste, dertigste enzovoort term van de rij (stel dat deze termen steeds gelijk zijn aan het getal 3,5 — ze stijgen of dalen niet). Deze termen zijn als het ware uit de maat. In het plaatje heb ik twee omgevingen getekend, epsilon één en twee. Zoals we zien, kunnen we voor ϵ₂ (de grotere epsilon-omgeving) zo'n n₀ vinden dat alle volgende termen in de groene strook liggen. Maar als we de waarde van epsilon verlagen tot ϵ₁, vinden we zo'n n₀ niet meer — elke tiende term ligt buiten deze omgeving. Deze rij zou in het punt vijf geen limiet hebben (en ook nergens anders).

Voorbeelden van andere limieten

Een voorbeeld van een rij die helemaal geen limiet heeft, is a_n = sin n, weergegeven in het volgende plaatje:

We zien dat de rij naar geen enkel getal convergeert, de termen van de rij dalen en stijgen steeds weer. Zo'n rij noemen we divergent.

Tot nu toe hebben we convergente rijen getoond die vanaf één kant naar de limiet convergeerden. Een rij kan de limiet echter ook vanaf beide kanten naderen, zoals deze rij laat zien

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Ook deze rij convergeert naar nul.

Oneindige limiet

Tot nu toe hadden we het over een eindige limiet, dus over het geval waarin een rij een reëel getal nadert. Maar wat te denken van een rij als a_n = n? Welk reëel getal nadert deze rij? Bekijk de grafiek:

Kennelijk nadert ze geen enkel reëel getal, maar groeit ze boven elke grens uit, ze groeit naar oneindig. Zo'n rij heeft dus een limiet in het oneindige en van zo'n limiet zeggen we dat hij oneindig is. De definitie van een oneindige limiet is eenvoudig. Wat betekent het dat een rij naar oneindig groeit? Dat als we een willekeurig reëel getal A kiezen, hoe groot ook, we altijd een index n₀ kunnen vinden zodat voor alle termen van de rij die na deze term komen geldt dat ze groter zijn dan dit getal A. Kortom: als we een grens A kiezen, dan geldt vanaf een bepaald punt in de rij dat alle termen groter zijn dan deze A. Wiskundig opgeschreven:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Aan het begin hebben we voor alle A, dus voor alle grenzen die we zouden willen kiezen. Dan hebben we de existentiekwantor, die zegt dat er een index n₀ moet bestaan waarvoor geldt dat als n groter is dan deze n₀, de waarde van de term a_n groter is dan de grens die we aan het begin kozen, dus A. Voor een oneindige limiet in min oneindig is de definitie vergelijkbaar.

Methoden om limieten te berekenen

We kennen al een paar basismethoden om de limiet van een rij te berekenen. Verschillende variaties op de rij a_n = n, zoals

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

hebben als limiet plus oneindig. Rijen van het type

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

hebben daarentegen limiet nul. Nu geven we een paar basisrelaties om met rijen te rekenen. Stel dat geldt

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Dan gelden ook deze relaties:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

De eerste formule kunnen we in het volgende voorbeeld toepassen:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

En wat als we zo'n opgave hebben?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Hier ontstaat een probleem, want de uitdrukking in de teller gaat in het oneindige naar oneindig en de uitdrukking in de noemer gaat ook naar oneindig. Maar als we in zowel de teller als de noemer oneindig hebben, krijgen we een zogenoemde onbepaalde vorm. We kunnen dus niet bepalen waaraan deze uitdrukking gelijk is:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Onze taak is om de uitdrukking zo te herschrijven dat deze onbepaalde vorm niet ontstaat. Als het ons lukt de variabele n uit de noemer of uit de teller te halen, kunnen we een uitdrukking krijgen waarin nog maar één oneindig voorkomt.

We herschrijven de uitdrukking eerst door elke term door de variabele n te delen, oftewel door de breuk uit te breiden met 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

We zien dat er in de noemer geen variabele n meer staat en dat de uitdrukking in de noemer in het oneindige dus niet naar oneindig gaat. Volgens de voorgaande formules kunnen we de hele limiet in een paar kleinere splitsen door de limieten van alle uitdrukkingen afzonderlijk te berekenen en de resultaten op te tellen en te delen.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Zo zijn we in de situatie gekomen dat we alle limieten al kunnen berekenen. Laten we dat doen.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

De limiet van deze rij is het getal 1,5.

We proberen nog een voorbeeld:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Hier kunnen we dezelfde werkwijze gebruiken als net of we kunnen proberen een logische redenering toe te passen. De functie n² trekt de rij veel sneller omhoog dan de functie n haar naar beneden trekt. De functie n² is veel sterker en dus heeft de hele uitdrukking limiet oneindig. We rekenen het ook uit. Opnieuw delen we elke term door n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Nog een paar woorden over waarom we door n deelden en niet bijvoorbeeld door n², dat ook in de uitdrukking voorkomt. Ons doel is, zoals we weten, van een variabele af te komen. We weten echter dat de waarde van de noemer niet nul mag zijn, want dan zouden we weer een onbepaalde vorm krijgen. We breiden de breuk uit met zo'n uitdrukking dat er in de noemer geen nul ontstaat. In dit geval betekende dat uitbreiden met de uitdrukking met de hoogste exponent in de noemer.

We kunnen dus zeggen dat de limiet wordt bepaald door de functie die een orde sneller groeit. Pas wel op voor de tekens: ook bij het rekenen met oneindig moeten we het teken bewaren:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$