Lukujonon raja-arvo

Lukujonon raja-arvo on luku, jota annettu lukujono lähestyy äärettömyydessä. Lukujonon raja-arvo on eräänlainen alkulämmittely funktion raja-arvolle, jolla on suuri merkitys matemaattisessa analyysissä.

Lyhyt johdatus raja-arvoihin

Lukujonon raja-arvo on luku, jota jokin annettu lukujono lähestyy jatkuvasti (ja jonka se mahdollisesti lopulta myös saavuttaa). Parasta on kuva, joka esittää säännön $a_n=\frac{1}{n}$ määräämän lukujonon:

Kuvasta nähdään, että lukujonon jäsenet lähestyvät yhä enemmän nollaa. Mitä suurempi n on, sitä pienempi on a_n ja sitä lähempänä se on nollaa. Kuvaaja ei koskaan kosketa vaaka-akselia, koska yhtälö 1/n = 0 ei koskaan toteudu (kun n on positiivinen kokonaisluku). On kuitenkin mielekästä selvittää, mitä lukua koko lukujono lähestyy. Kysymys voi kuulua näin – jos n:ää kasvatetaan jatkuvasti, mitä lukua lukujonon arvo lähestyy? Jos n lähestyy ääretöntä, mikä arvo lukujonon jäsenellä on? Juuri tämän ratkaisevat raja-arvot. Raja-arvo kirjoitetaan merkinnällä lim. Alaindeksissä on, mitä lukua n lähestyy, ja lukujonoilla se on aina ääretön. Koko merkintä voi näyttää esimerkiksi tältä:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Luetaan: ”Lukujonon yksi per n raja-arvo, kun n lähestyy ääretöntä, on nolla.” Vielä muutama triviaali esimerkki: mikä on lukujonon a_n = n raja-arvo? Se on yksinkertainen lukujono, jossa a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 jne. Mitä lukua lukujonon jäsenet lähestyvät äärettömyydessä? Mitä suurempi n, sitä suurempi a_n, joten raja-arvo on ääretön.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Luultavasti arvaat intuitiivisesti, että myös lukujonon a_n = n² raja-arvo on ääretön. Tämä lukujono kasvaa vielä nopeammin kuin edellinen. Lukujonon $a_n=\frac{1}{2n}$ raja-arvo taas lähestyy nollaa vielä nopeammin kuin ensimmäinen esimerkkilukujono.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Lukujonon äärellisen raja-arvon määritelmä

On aika määritellä lukujonon raja-arvo kunnolla.

Lukujonolla ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ on äärellinen raja-arvo a (suppenee kohti raja-arvoa a ∈ ℝ, on suppeneva), jos jokaista lukua ϵ > 0 kohti on olemassa n₀ ∈ ℤ⁺ siten, että kaikilla n>n₀ pätee |a_n − a| < ϵ.

Käytettyjä merkintöjä ovat:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ kun }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

Määritelmä on kaunis, mutta selitetään se nyt. Siihen tarvitaan kuva jostakin lukujonosta, joten valitaan esimerkiksi seuraava lukujono:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

Ja sen kuvaaja:

Kuvaajasta nähdään hyvin, että lukujono suppenee kohti lukua viisi, eli tämän lukujonon raja-arvo on viisi. Ennen kuin alan havainnollistaa raja-arvon määritelmää tämän lukujonon avulla, lisään kuvaajaan vielä hieman värejä:

Tiedetään jo, että tämän lukujonon raja-arvo on viisi. Määritelmän ensimmäisessä osassa puhutaan luvusta ϵ>0, eli jostakin epsilonista, joka on nollaa suurempi. Epsilon edustaa tässä raja-arvon ympäristöä, pisteen ympäristöä. Se on nollaa suurempi, koska ympäristö ei voi olla negatiivinen eikä nolla. Kuvassa tämä ympäristö on esitetty y-akselin vaakasuorilla vihreillä viivoilla. Piste on tässä arvo viisi, ja pisteen ympäristö on y-akselin vihreiden viivojen välinen alue. Ympäristö on määritelty molempiin suuntiin, ylös ja alas. Tätä kuviteltua vihreiden vaakaviivojen rajaamaa kaistaa tarvitaan nyt. Kuvassa pätee ϵ = 1.

Tavoitteena on löytää alemmalta vaaka-akselilta sellainen luku n₀, joka jakaa akselin kahteen osaan. Lisäksi sen täytyy olla sellainen, että kaikki lukujonon jäsenet tämän luvun n₀ oikealla puolella ovat tässä vihreässä kaistassa. Se, missä luvut ovat n₀:n vasemmalla puolella, ei ole olennaista, eikä pienintä mahdollista lukua n₀ tarvitse etsiä, jotta määritelmä pätisi. Kuvassa pätee n₀ = 12.

Mitä oikeastaan tarkoittaa, että lukujonon jäsen on vihreässä kaistassa? Sitä, että sen etäisyys raja-arvosta (tässä tapauksessa luvusta viisi) on enintään epsilon. Ja juuri tämän määritelmä sanoo: |a_n − a|<ϵ. Muistutan, että arvo a tarkoittaa raja-arvoa, ja tässä tapauksessa siis pätee a = 5. Lasketaan viidennentoista jäsenen arvo:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Sijoitetaan nyt lausekkeeseen |a_n − a|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Nähdään, että epäyhtälö pätee. Tämä piste täyttää määritelmän. Luku 0,3125 ilmaisee viidennentoista jäsenen ja lukujonon raja-arvon välisen etäisyyden. Kuvassa tämä etäisyys on korostettu lyhyellä violetilla janalla. Jos testattaisiin näin kaikki lukua n₀ suuremmat luvut, huomattaisiin, että epäyhtälö pätee edelleen. Luku a = 5 siis täyttää tämän lukujonon raja-arvon määritelmän.

Määritelmässä on kuitenkin yksi tärkeä asia. Siinä sanotaan, että jokaista lukua ϵ>0 kohti voidaan löytää tuo luku n₀. Siis mielivaltaisen suurelle epsilonille, mutta ennen kaikkea mielivaltaisen pienelle epsilonille. Kuinka pieneksi (mutta yhä positiiviseksi) luvuksi epsilon pienennetäänkin, luku n₀ on silti pystyttävä löytämään.

Yritetään siis pienentää epsilon johonkin pienempään arvoon. Mitä tapahtuu? Vihreä kaista, johon on mahduttava, kapenee. Se ei kuitenkaan haittaa lainkaan, vaan n₀:n arvoa vain kasvatetaan – siirretään sitä oikealle. Pienentämisen ja siirtämisen havainnollistaa seuraava kuva:

Tämä siirtyminen kuvaa hyvin raja-arvon käyttäytymistä. Raja-arvolta odotetaan, että lukujonon jäsenet lähestyvät sitä vähitellen ja että niiden etäisyys raja-arvosta pienenee jatkuvasti. (Etäisyys raja-arvosta on se, mitä laskettiin hetki sitten, eli kuvan violetti viiva.) Jos etäisyys pienenee jatkuvasti ja jäsenet lähestyvät raja-arvoa, jossakin vaiheessa täytyy päästä tilaan, jossa ne ovat raja-arvoa lähempänä kuin epsilon. Näin on löydetty arvo n₀. Kun taas valitaan epsilon suuremmaksi, voidaan valita pienempi n₀:

Alussa mainitsin, että lukujono lähestyy raja-arvoaan jatkuvasti mutta ei koskaan kosketa sitä. Lukujono voi kuitenkin koskettaa raja-arvoaan, ja se voi jopa saada raja-arvonsa äärettömän monta kertaa. Esimerkiksi vakiolukujonolla a_n = 1 on jokaisessa pisteessä arvo yksi ja sen raja-arvo on myös yksi.

Raja-arvon puuttumisen havainnollistus

Yritetään muokata lukujonon määritelmää niin, että se vastaa seuraavaa kuvaajaa: (itse sääntö ei ole tällä hetkellä olennainen)

Lukujono käyttäytyy samoin kuin edellisessä tapauksessa paitsi kymmenennen, kahdennenkymmenennen, kolmannenkymmenennen jne. jäsenen kohdalla (oletetaan, että nämä jäsenet ovat aina yhtä suuria kuin luku 3,5 – ne eivät kasva eivätkä pienene). Nämä jäsenet ovat jotenkin rytmin ulkopuolella. Kuvaan on piirretty kaksi ympäristöä, epsilon yksi ja kaksi. Kuten nähdään, ympäristölle ϵ₂ (suuremman epsilonin ympäristö) pystytään löytämään sellainen n₀, että kaikki sitä seuraavat jäsenet ovat vihreässä kaistassa. Mutta kun epsilonin arvo pienennetään arvoon ϵ₁, sellaista n₀:aa ei enää löydy – joka kymmenes jäsen on tämän ympäristön ulkopuolella. Tällä lukujonolla ei olisi raja-arvoa pisteessä viisi (eikä sillä ole raja-arvoa missään muuallakaan).

Esimerkkejä muista raja-arvoista

Esimerkki lukujonosta, jolla ei ole mitään raja-arvoa, on a_n = sin n, joka on esitetty seuraavassa kuvassa:

Nähdään, että lukujono ei suppene kohti mitään lukua, vaan lukujonon jäsenet kasvavat ja vähenevät jatkuvasti. Tällaista lukujonoa kutsutaan hajaantuvaksi.

Tähän mennessä on esitetty suppenevia lukujonoja, jotka suppenivat kohti raja-arvoaan yhdeltä puolelta. Lukujono voi kuitenkin lähestyä raja-arvoa myös molemmilta puolilta, kuten tämä lukujono osoittaa

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Myös tämä lukujono suppenee kohti nollaa.

Ääretön raja-arvo

Tähän asti on puhuttu äärellisestä raja-arvosta, eli tapauksesta, jossa lukujono lähestyy jotakin reaalilukua. Mutta entä sellainen lukujono kuin a_n = n? Mitä reaalilukua lukujono lähestyy? Katso kuvaajaa:

Se ei ilmeisesti lähesty mitään reaalilukua vaan kasvaa yli kaikkien rajojen, kasvaa äärettömyyteen. Tällaisen lukujonon raja-arvo on siis ääretön, ja sellaista raja-arvoa sanotaan äärettömäksi. Äärettömän raja-arvon määritelmä on yksinkertainen. Mitä tarkoittaa, että lukujono kasvaa äärettömyyteen? Sitä, että kun valitaan jokin reaaliluku A, kuinka suuri tahansa, löytyy aina indeksi n₀ siten, että kaikki tämän jäsenen jälkeiset lukujonon jäsenet ovat suurempia kuin tämä luku A. Lyhyesti: jos valitaan raja A, lukujonon jostakin kohdasta alkaen kaikki jäsenet ovat tätä lukua A suurempia. Matemaattisesti kirjoitettuna:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in {\mathbb{Z}}^{+}\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Alussa on kaikilla A, eli kaikilla rajoilla, jotka voitaisiin haluta valita. Sen jälkeen on eksistenssikvanttori, joka sanoo, että täytyy olla olemassa indeksi n₀, jolle pätee, että jos n on tätä lukua n₀ suurempi, jäsenen a_n arvo on suurempi kuin alussa valittu raja, eli A. Vastaava määritelmä on raja-arvolle miinus ääretön.

Raja-arvojen laskemisen menetelmiä

Tiedetään jo muutama perusmenetelmä lukujonon raja-arvon laskemiseen. Lukujonon a_n = n erilaiset muunnelmat, kuten esimerkiksi

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

ovat raja-arvoltaan plus ääretön. Sen sijaan tyyppiä

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

olevien lukujonojen raja-arvo on nolla. Esitetään nyt muutamia lukujonojen laskusääntöjä. Oletetaan, että pätee

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Silloin pätevät myös nämä kaavat:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

Ensimmäistä kaavaa voitaisiin käyttää seuraavassa esimerkissä:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

Entä tilanne, jossa on tällainen esimerkki?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Tässä syntyy ongelma, koska osoittajan lauseke lähestyy äärettömyydessä ääretöntä ja nimittäjän lauseke lähestyy myös ääretöntä. Mutta jos osoittajassa ja nimittäjässä on ääretön, syntyy niin sanottu epämääräinen muoto. Lyhyesti: ei voida määrittää, mitä tämä lauseke on:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Tehtävänä on muokata lauseketta niin, ettei tätä epämääräistä muotoa synny. Jos osoittajasta tai nimittäjästä onnistutaan poistamaan muuttuja n, voidaan saada lauseke, jossa on vain yksi ääretön.

Lauseke muokataan ensin niin, että jokainen termi jaetaan muuttujalla n, eli murtoluku lavennetaan lausekkeella 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Nähdään, että nimittäjässä ei enää ole muuttujaa n, joten nimittäjän lauseke ei lähesty äärettömyydessä ääretöntä. Edellisten kaavojen mukaan koko raja-arvo voidaan hajottaa useaan pienempään laskemalla erikseen kaikkien lausekkeiden raja-arvot ja laskemalla tulokset yhteen ja jakamalla ne.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Nyt ollaan tilanteessa, jossa kaikki raja-arvot osataan jo laskea. Tehdään se.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Tämän lukujonon raja-arvo on luku 1,5.

Kokeillaan toista esimerkkiä:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Tässä voidaan joko käyttää samaa menettelyä kuin äsken tai yrittää turvautua loogiseen päättelyyn. Funktio n² vetää lukujonoa ylöspäin paljon nopeammin kuin funktio n vetää sitä alaspäin. Funktio n² on paljon vahvempi, joten koko lausekkeen raja-arvo on ääretön. Lasketaan se myös. Jaetaan taas jokainen lauseke luvulla n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Vielä muutama sana siitä, miksi jaettiin n:llä eikä esimerkiksi luvulla n², joka myös esiintyy lausekkeessa. Tavoitteena on, kuten tiedetään, päästä eroon jostakin muuttujasta. Tiedetään kuitenkin, ettei nimittäjän arvo saa olla nolla, sillä silloin syntyisi taas epämääräinen muoto. Murtoluku lavennetaan sellaisella lausekkeella, ettei nimittäjään synny nollaa. Tässä tapauksessa se tarkoitti laventamista lausekkeella, jossa on nimittäjän korkein eksponentti.

Voidaan siis sanoa, että raja-arvon määrää se funktio, joka kasvaa suuruusluokaltaan nopeammin. Merkkeihin on kuitenkin syytä kiinnittää huomiota: myös äärettömällä laskettaessa merkki on säilytettävä:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$