Limite de uma sequência

O limite de uma sequência representa o número do qual a sequência dada se aproxima no infinito. O limite de uma sequência é, assim, uma espécie de precursor do limite de uma função, que tem grande importância na análise matemática.

Uma breve introdução aos limites

O limite de uma sequência representa o número do qual uma sequência de números se aproxima continuamente (e que, eventualmente, até alcança). O melhor é uma figura que mostre a sequência dada pela fórmula $a_n=\frac{1}{n}$:

Na figura vemos que os termos da sequência se aproximam cada vez mais de zero. Quanto maior é n, menor é o valor de a_n e mais ele se aproxima de zero. O gráfico nunca toca o eixo horizontal, porque a equação 1/n = 0 nunca será verdadeira (em que n é um número natural). Mesmo assim, vale a pena descobrir de que número a sequência inteira se aproxima. A pergunta pode ser, então: se aumentarmos n sem parar, de que número o valor da sequência vai se aproximar? Se aproximarmos n do infinito, que valor terá o termo da sequência? É exatamente isso que os limites resolvem. Nós o escrevemos com o comando lim. No índice inferior indicamos de que número n se aproxima, o que, nas sequências, será sempre o infinito. A notação completa pode ser, por exemplo, assim:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Lemos: “O limite da sequência um sobre n quando n tende ao infinito é zero.” Mais alguns exemplos triviais: qual é o limite da sequência a_n = n? Essa é uma sequência simples, em que a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 etc. De que número os termos da sequência vão se aproximar no infinito? Quanto maior n, maior a_n, portanto o limite será o infinito.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Você provavelmente deduz, por intuição, que o limite da sequência a_n = n² também será o infinito. Essa sequência vai crescer ainda mais rápido que a anterior. Já o limite da sequência $a_n=\frac{1}{2n}$ vai diminuir até zero ainda mais rápido que a primeira sequência de exemplo.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Definição de limite finito de uma sequência

Chegou a hora de definir direito o limite de uma sequência.

A sequência ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ tem limite finito a (converge para o limite a ∈ ℝ, é convergente) se, para todo ϵ > 0, existe n₀ ∈ ℕ^* tal que, para todo n>n₀, vale |a_n − a| < ϵ.

As notações usadas são:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ para }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

A definição é bonita; agora vamos explicá-la. Para isso, vamos precisar da figura de alguma sequência, então escolhemos, por exemplo, a seguinte sequência:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

E o seu gráfico:

Pelo gráfico podemos ver muito bem que a sequência converge para cinco, ou seja, que o limite dessa sequência é cinco. Antes de começar a demonstrar a definição de limite com essa sequência, vou acrescentar ao gráfico algumas cores:

Já sabemos que o limite dessa sequência é cinco. Na primeira parte da definição se fala de ϵ>0, isto é, de algum épsilon maior que zero. O épsilon representa aqui a vizinhança do limite, a vizinhança de um ponto. Ele é maior que zero porque a vizinhança não pode ser negativa nem nula. Na figura, essa vizinhança é representada pelas linhas verdes horizontais no eixo y. O ponto aqui é o valor cinco, e a vizinhança do ponto são aquelas linhas verdes no eixo y. A vizinhança em si é definida nos dois sentidos, para cima e para baixo. Essa faixa imaginária delimitada pelas linhas verdes horizontais agora vai ser necessária. Na figura vale ϵ = 1.

Nosso objetivo é encontrar, no eixo horizontal inferior, um número n₀ que divida o eixo inferior em duas partes. E deve valer que todos os termos da sequência à direita desse número n₀ se encontram nessa faixa verde. Onde estão os termos à esquerda de n₀ não importa; não precisamos procurar o menor n₀ para o qual essa definição vale. Na figura vale n₀ = 12.

O que significa, na verdade, que um termo da sequência está na faixa verde? Significa que ele está a uma distância do limite (neste caso, do número cinco) de no máximo épsilon. E é exatamente isso que a definição diz: |a_n − a|<ϵ. Lembro que o valor a indica o limite, e em nosso caso vale, portanto, a = 5. Vamos tentar calcular o valor do décimo quinto elemento:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Agora substituímos na relação |a_n − a|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Vemos que a inequação é verdadeira. Esse ponto satisfaz a definição. O número 0,3125 expressa a distância entre o décimo quinto termo da sequência e o limite da sequência. Na figura, essa distância está destacada por um pequeno segmento roxo. Se testássemos desse modo todos os números maiores que n₀, descobriríamos que essa inequação continua verdadeira. O número a = 5 satisfaz, portanto, a definição de limite dessa sequência.

Mas há na definição uma coisa importante. Ela diz que, para todo ϵ>0, somos capazes de encontrar aquele número n₀. Ou seja, para um épsilon arbitrariamente grande, mas principalmente para um épsilon arbitrariamente pequeno. Por menor que façamos o épsilon (mas ainda positivo), mesmo assim devemos ser capazes de encontrar n₀.

Tentemos, então, diminuir o épsilon para algum valor menor. O que acontece? A faixa verde, na qual precisamos caber, fica menor. O que não nos incomoda em nada: simplesmente aumentamos o valor de n₀ — nós o deslocamos para a direita. A figura a seguir ilustra tanto a diminuição quanto o deslocamento:

Esse deslocamento mostra bem o comportamento do limite. Esperamos do limite que os termos da sequência se aproximem dele aos poucos, que a distância deles ao limite diminua continuamente. (A distância ao limite é o que calculamos há pouco, aquela linha roxa na figura.) Se a distância diminui continuamente e os termos se aproximam do limite, em algum momento eles têm de chegar a um estado em que estarão mais perto do limite que épsilon. E com isso encontramos o nosso valor n₀. Se, ao contrário, escolhermos um épsilon maior, podemos escolher um n₀ menor:

No início mencionei que a sequência se aproxima continuamente de seu limite, mas nunca o toca. No entanto, a sequência pode tocar o seu limite, e pode até assumir o valor do limite infinitas vezes. Por exemplo, a sequência constante a_n = 1 terá valor um em cada ponto, e o limite dela também será um.

Demonstração da inexistência do limite

Tentemos modificar a definição da sequência de modo que ela corresponda ao gráfico seguinte: (a fórmula em si não é importante por ora)

A sequência se comporta como no caso anterior, exceto no décimo, vigésimo, trigésimo etc. termos da sequência (suponhamos que esses termos sejam sempre iguais ao número 3,5 — não crescem nem diminuem). Esses termos estão, por assim dizer, fora do ritmo. Desenhei na figura duas vizinhanças, épsilon um e dois. Como vemos, para ϵ₂ (o épsilon maior da vizinhança) conseguimos encontrar um n₀ tal que todos os termos seguintes estejam na faixa verde. Mas, quando diminuímos o valor de épsilon para ϵ₁, já não encontramos tal n₀ — todo décimo termo ficará fora dessa vizinhança. Essa sequência não teria limite no ponto cinco (e não tem limite em nenhum outro lugar também).

Exemplos de outros limites

Um exemplo de sequência que não tem nenhum limite é a_n = sen n, mostrada na figura seguinte:

Vemos que a sequência não converge para nenhum número, e os termos da sequência diminuem e aumentam continuamente. Chamamos uma sequência assim de divergente.

Até agora mostramos sequências convergentes que convergiam para o limite dado por um só lado. Mas uma sequência pode se aproximar do limite pelos dois lados, como mostra esta sequência

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Essa sequência também converge para zero.

Limite infinito

Até agora falamos do limite finito, isto é, do caso em que a sequência se aproxima de algum número real. Mas e uma sequência como a_n = n? De que número real essa sequência se aproxima? Observe o gráfico:

Evidentemente ela não se aproxima de nenhum número real, mas cresce além de qualquer limite, cresce até o infinito. Uma sequência assim tem como limite o infinito, e dizemos que esse limite é infinito. A definição de limite infinito é simples. O que significa que a sequência cresce até o infinito? Que, quando escolhemos um número real A, arbitrariamente grande, sempre encontramos um índice n₀ tal que todos os termos da sequência que vêm depois desse termo são maiores que esse número A. Em suma: se escolhemos uma cota A, então, a partir de certo ponto da sequência, todos os termos são maiores que esse A. Escrito em linguagem matemática:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

No início temos “para todo A”, isto é, para todas as cotas que quiséssemos escolher. Depois vem o quantificador existencial, que diz que deve existir um índice n₀ tal que, se n é maior que esse n₀, então o valor do termo a_n é maior que a cota que escolhemos no início, ou seja, A. Haverá uma definição semelhante para o limite igual a menos infinito.

Métodos de cálculo de limites

Já conhecemos alguns métodos básicos de calcular o limite de uma sequência. Várias variações da sequência a_n = n, como, por exemplo,

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

têm limite mais infinito. Já as sequências do tipo

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

têm limite zero. Agora vamos apresentar algumas relações básicas para o cálculo com sequências. Suponhamos que valha

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Então valem também estas relações:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

Poderíamos aplicar a primeira fórmula no exemplo seguinte:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

E no caso em que temos um exemplo como este?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Aqui surge um problema, porque a expressão no numerador tende ao infinito no infinito, e a expressão no denominador também tende ao infinito. Mas, se temos infinito tanto no numerador quanto no denominador, obtemos a chamada indeterminação. Em suma, não podemos determinar a que é igual esta expressão:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Nossa tarefa será transformar a expressão de modo que essa indeterminação não surja. Se conseguirmos eliminar a variável n do denominador ou do numerador, já podemos obter uma expressão em que haverá apenas um infinito.

Primeiro transformamos a expressão dividindo cada termo pela variável n, isto é, multiplicamos o numerador e o denominador da fração por 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Vemos que no denominador já não há a variável n, e a expressão no denominador, portanto, não tende ao infinito no infinito. De acordo com as fórmulas anteriores, podemos decompor o limite inteiro em vários menores, calculando separadamente os limites de todas as expressões, somando os resultados e dividindo.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Chegamos, assim, a uma situação em que já conseguimos calcular todos os limites. Façamos isso.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

O limite dessa sequência é o número 1,5.

Vamos tentar outro exemplo:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Aqui podemos usar o mesmo procedimento de antes ou tentar recorrer a um raciocínio lógico. A função n² vai puxar a sequência para cima muito mais rápido do que a função n a puxará para baixo. A função n² é muito mais forte e, por isso, a expressão inteira terá limite infinito. Vamos também calcular. Novamente dividimos cada termo por n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Mais algumas palavras sobre por que dividimos por n e não, por exemplo, por n², que também aparece na expressão. Nosso objetivo, como sabemos, é nos livrarmos de alguma variável. No entanto, sabemos que o valor do denominador não pode ser zero, pois novamente obteríamos uma indeterminação. Multiplicaremos a fração por uma expressão tal que no denominador não surja zero. Neste caso, isso significou multiplicá-la pela expressão com o maior expoente no denominador.

Podemos dizer, assim, que o limite será regido pela função que cresce mais rápido. Mas atenção aos sinais: mesmo calculando com o infinito, devemos preservar o sinal:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$