Gränsvärde av en talföljd

Gränsvärdet av en talföljd är det tal som talföljden närmar sig i oändligheten. Gränsvärdet av en talföljd är ett slags förövning inför gränsvärdet av en funktion, som har stor betydelse i matematisk analys.

Kort inledning till gränsvärden

Gränsvärdet av en talföljd är det tal som en given talföljd hela tiden närmar sig (och ibland till slut också når). Enklast är att titta på en figur som visar talföljden given av regeln $a_n=\frac{1}{n}$:

I figuren ser vi att termerna i talföljden kommer närmare och närmare noll. Ju större n är, desto mindre är värdet av a_n och desto närmare noll kommer det. Grafen rör aldrig den horisontella axeln, eftersom ekvationen 1/n = 0 aldrig kan gälla (där n är ett positivt heltal). Ändå är det värt att ta reda på vilket tal hela talföljden närmar sig. Frågan kan alltså lyda så här: om vi låter n växa hela tiden, vilket tal närmar sig värdet av talföljden? Om vi låter n närma sig oändligheten, vilket värde får termen i talföljden då? Det är precis det gränsvärden handlar om. Vi skriver det med symbolen $lim$. I nedre indexet står vilket tal n närmar sig, och för talföljder är det alltid oändligheten. Hela skrivsättet kan till exempel se ut så här:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Vi läser: ”Gränsvärdet av talföljden ett genom n då n går mot oändligheten är noll.” Några fler triviala exempel: Vilket är gränsvärdet av talföljden a_n = n? Det är en enkel talföljd där a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 och så vidare. Vilket tal närmar sig termerna i oändligheten? Ju större n, desto större a_n, så gränsvärdet är oändligheten.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Du kan nog gissa att gränsvärdet av talföljden a_n = n² också är oändligheten. Den talföljden växer ännu snabbare än den förra. Gränsvärdet av talföljden $a_n=\frac{1}{2n}$ går däremot mot noll ännu snabbare än den första exempelföljden.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Definition av ändligt gränsvärde av en talföljd

Nu är det dags att definiera gränsvärdet av en talföljd ordentligt.

Talföljden ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ har ändligt gränsvärde a (konvergerar mot gränsvärdet a ∈ ℝ, är konvergent) om det för varje ϵ > 0 finns ett n₀ ∈ ℤ⁺ sådant att |a_n − a| < ϵ för alla n>n₀.

Vanliga skrivsätt är:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ för }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

Det är en fin definition, och nu ska vi förklara den. Då behöver vi en figur av någon talföljd, så vi väljer till exempel följande talföljd:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

Här är dess graf:

Av grafen kan vi tydligt utläsa att talföljden konvergerar mot fem, alltså att gränsvärdet av talföljden är fem. Innan jag börjar visa definitionen av gränsvärde på den här talföljden lägger jag till lite färg i grafen:

Vi vet redan att gränsvärdet av talföljden är fem. I den första delen av definitionen talas det om ϵ>0, alltså något epsilon som är större än noll. Epsilon är här omgivningen kring gränsvärdet, omgivningen kring en punkt. Det ska vara större än noll eftersom en omgivning inte kan vara negativ och inte heller noll. I figuren visas omgivningen av de horisontella gröna linjerna vid y-axeln. Punkten är här värdet fem, och omgivningen kring punkten är de gröna linjerna vid y-axeln. En omgivning är definierad åt båda hållen, både uppåt och nedåt. Det här tänkta bandet som de gröna horisontella linjerna avgränsar behöver vi nu. I figuren gäller ϵ = 1.

Vårt mål är att hitta ett tal n₀ på den nedre horisontella axeln som delar axeln i två delar. Alla termer i talföljden till höger om n₀ måste ligga i det gröna bandet. Var termerna till vänster om n₀ ligger spelar ingen roll, och vi behöver inte hitta det minsta n₀ för vilket definitionen gäller. I figuren gäller n₀ = 12.

Vad betyder det egentligen att en term i talföljden ligger i det gröna bandet? Det betyder att avståndet till gränsvärdet (här talet fem) är högst epsilon. Och det är precis vad definitionen säger: |a_n − a|<ϵ. Jag påminner om att värdet a betecknar gränsvärdet, så i vårt fall gäller a = 5. Vi försöker räkna ut värdet av den femtonde termen:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Nu sätter vi in i sambandet |a_n − a|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Vi ser att olikheten gäller. Den här punkten uppfyller definitionen. Talet 0,3125 är avståndet mellan den femtonde termen i talföljden och gränsvärdet av talföljden. I figuren är det här avståndet markerat med en kort lila sträcka. Om vi på samma sätt testade alla tal större än n₀ skulle vi se att olikheten fortfarande gäller. Talet a = 5 uppfyller alltså definitionen av gränsvärdet av den här talföljden.

I definitionen finns dock en viktig sak. Där står att vi för varje ϵ>0 ska kunna hitta talet n₀. Alltså för ett godtyckligt stort epsilon, men framför allt för ett godtyckligt litet epsilon. Hur litet (men fortfarande positivt) vi än gör epsilon måste vi ändå kunna hitta n₀.

Vi provar därför att minska epsilon till ett mindre värde. Vad händer? Det gröna bandet som vi ska rymmas i blir smalare. Det gör inget, vi ökar helt enkelt värdet av n₀ och flyttar det åt höger. Förminskningen och förskjutningen visas i följande figur:

Förskjutningen visar fint hur ett gränsvärde beter sig. Vi förväntar oss att termerna i talföljden gradvis närmar sig gränsvärdet, att deras avstånd till gränsvärdet hela tiden minskar. (Avståndet till gränsvärdet är det vi nyss räknade ut, den lila linjen i figuren.) Om avståndet hela tiden minskar och termerna närmar sig gränsvärdet måste de någon gång komma närmare gränsvärdet än epsilon. Då har vi hittat vårt värde på n₀. Om vi i stället väljer ett större epsilon kan vi välja ett mindre n₀:

I början nämnde jag att talföljden hela tiden närmar sig sitt gränsvärde men aldrig rör det. En talföljd kan dock röra sitt gränsvärde, och den kan till och med anta gränsvärdet oändligt många gånger. Till exempel har den konstanta talföljden a_n = 1 värdet ett i varje punkt, och gränsvärdet är också ett.

En talföljd utan gränsvärde

Vi provar att ändra regeln för talföljden så att den passar följande graf: (själva regeln är inte viktig för tillfället)

Talföljden beter sig som i det förra fallet, utom för den tionde, tjugonde, trettionde osv. termen (anta att de här termerna alltid är lika med 3,5 och varken ökar eller minskar). De här termerna hamnar liksom utanför takten. I figuren har jag ritat två omgivningar, epsilon ett och två. Som vi ser kan vi för ϵ₂ (den större epsilonomgivningen) hitta ett n₀ sådant att alla följande termer ligger i det gröna bandet. Men när vi minskar epsilon till ϵ₁ finns det inget sådant n₀ längre, eftersom var tionde term ligger utanför omgivningen. Den här talföljden skulle inte ha gränsvärdet fem (och den har inte heller något annat gränsvärde).

Exempel på fler gränsvärden

Ett exempel på en talföljd som inte har något gränsvärde alls är a_n = sin n, som visas i följande figur:

Vi ser att talföljden inte konvergerar mot något tal, termerna minskar och ökar hela tiden. En sådan talföljd kallar vi divergent.

Hittills har vi visat konvergenta talföljder som närmade sig gränsvärdet från ena sidan. En talföljd kan dock närma sig gränsvärdet från båda sidor, som den här talföljden visar

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Också den här talföljden konvergerar mot noll.

Oändligt gränsvärde

Hittills har vi pratat om ändliga gränsvärden, alltså fallet när talföljden närmar sig något reellt tal. Men vad gäller för talföljden a_n = n? Vilket reellt tal närmar sig talföljden? Titta på grafen:

Den närmar sig uppenbarligen inget reellt tal utan växer över alla gränser, den växer mot oändligheten. En sådan talföljd har alltså gränsvärdet oändligheten, och om ett sådant gränsvärde säger vi att det är oändligt. Definitionen av ett oändligt gränsvärde är enkel. Vad betyder det att en talföljd växer mot oändligheten? Det betyder att om vi väljer ett godtyckligt stort reellt tal A kan vi alltid hitta ett index n₀ sådant att alla termer efter den termen är större än talet A. Kort sagt, om vi väljer en gräns A är alla termer från någon plats i talföljden och framåt större än A. Skrivet matematiskt:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in {\mathbb{Z}}^{+}\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Först står det ”för alla A”, alltså för alla gränser som vi kan vilja välja. Sedan har vi en existenskvantor som säger att det måste finnas ett index n₀ sådant att om n är större än n₀ så är värdet av termen a_n större än gränsen som vi valde i början, alltså A. En liknande definition gäller för det oändliga gränsvärdet minus oändligheten.

Metoder för att beräkna gränsvärden

Vi kan redan några grundläggande metoder för att beräkna gränsvärdet av en talföljd. Olika varianter av talföljden a_n = n, till exempel

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

har gränsvärdet plus oändligheten. Talföljder av typen

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

har däremot gränsvärdet noll. Nu går vi igenom några grundläggande samband för att räkna med talföljder. Anta att

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Då gäller också följande samband:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

Den första formeln kan vi använda i följande exempel:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

Och vad gör vi i ett fall som det här?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Här uppstår ett problem, eftersom uttrycket i täljaren närmar sig oändligheten i oändligheten, och uttrycket i nämnaren gör det också. Men om vi har oändligheten både i täljaren och i nämnaren får vi ett så kallat obestämt uttryck. Vi kan helt enkelt inte avgöra vad det här uttrycket är lika med:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Vår uppgift blir att skriva om uttrycket så att det obestämda uttrycket inte uppstår. Om vi lyckas få bort variabeln n ur nämnaren eller täljaren kan vi få ett uttryck där det bara finns en oändlighet.

Först skriver vi om uttrycket genom att dividera varje term med variabeln n, alltså genom att förlänga bråket med uttrycket 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Vi ser att nämnaren inte längre innehåller variabeln n, så uttrycket i nämnaren närmar sig inte oändligheten i oändligheten. Enligt de föregående formlerna kan vi dela upp hela gränsvärdet i flera mindre genom att räkna ut gränsvärdena av alla uttryck för sig, addera resultaten och dela.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Nu har vi hamnat i en situation där vi kan räkna ut alla gränsvärden. Det gör vi.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Gränsvärdet av den här talföljden är talet 1,5.

Vi provar ett exempel till:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Här kan vi antingen använda samma metod som förut eller försöka resonera logiskt. Funktionen n² drar talföljden uppåt mycket snabbare än funktionen n drar den nedåt. Funktionen n² är mycket starkare, så hela uttrycket har gränsvärdet oändligheten. Vi försöker också räkna ut det. Återigen dividerar vi varje uttryck med n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Några ord om varför vi dividerade med n och inte till exempel med n², som också finns i uttrycket. Vårt mål är, som vi vet, att bli av med någon variabel. Men vi vet att värdet av nämnaren inte får bli noll, eftersom vi då åter skulle få ett obestämt uttryck. Vi förlänger bråket med ett sådant uttryck att nämnaren inte blir noll. Här innebar det att förlänga med den potens av n som har den högsta exponenten i nämnaren.

Vi kan alltså säga att gränsvärdet styrs av den funktion som växer snabbare i storleksordning. Men se upp med tecknen: även när vi räknar med oändligheten måste vi behålla tecknet:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$