Grenzwert einer Folge

Der Grenzwert einer Folge ist die Zahl, der sich die gegebene Folge im Unendlichen annähert. Der Grenzwert einer Folge ist dann gewissermaßen ein Vorläufer des Grenzwerts einer Funktion, der in der mathematischen Analysis eine große Bedeutung hat.

Kurze Einführung in Grenzwerte

Der Grenzwert einer Folge ist die Zahl, der sich eine gegebene Zahlenfolge ständig annähert (und die sie eventuell am Ende sogar erreicht). Am besten ist eine Abbildung, die die durch die Vorschrift $a_n=\frac{1}{n}$ gegebene Folge darstellt:

In der Abbildung sehen wir, dass sich die Glieder der Folge immer mehr der Null annähern. Je größer n ist, desto kleiner ist der Wert a_n und desto mehr nähert er sich der Null. Der Graph berührt die horizontale Achse nie, weil die Gleichung 1/n = 0 nie gelten wird (wobei n eine natürliche Zahl ist). Trotzdem lohnt es sich herauszufinden, welcher Zahl sich die ganze Folge annähert. Die Frage kann also lauten – wenn wir n ständig vergrößern, welcher Zahl wird sich der Wert der Folge annähern? Wenn wir n dem Unendlichen annähern, welchen Wert wird dann das Folgenglied haben? Genau das lösen Grenzwerte. Wir schreiben ihn mit dem Befehl $lim$. Im unteren Index steht dann, welcher Zahl sich n annähert, bei Folgen ist es immer das Unendliche. Die ganze Schreibweise kann zum Beispiel so aussehen:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Wir lesen: „Der Grenzwert der Folge eins durch n für n gegen unendlich ist null.“ Noch einige weitere triviale Beispiele: Was ist der Grenzwert der Folge a_n = n? Das ist eine einfache Folge, bei der a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 usw. gilt. Welcher Zahl werden sich die Glieder der Folge im Unendlichen annähern? Je größer n, desto größer a_n, der Grenzwert wird also unendlich sein.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Du ahnst wahrscheinlich intuitiv, dass der Grenzwert der Folge a_n = n² ebenfalls unendlich sein wird. Diese Folge wächst noch schneller als die vorherige. Dagegen fällt die Folge $a_n=\frac{1}{2n}$ noch schneller gegen null als die erste Beispielfolge.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Definition des eigentlichen Grenzwerts einer Folge

Es ist an der Zeit, den Grenzwert einer Folge ordentlich zu definieren.

Eine Folge ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ hat den eigentlichen Grenzwert a (sie konvergiert gegen den Grenzwert a ∈ ℝ, sie ist konvergent), wenn es zu jedem ϵ > 0 ein n₀ ∈ ℕ gibt, sodass für alle n>n₀ gilt: |a_n − a| < ϵ.

Gebräuchliche Schreibweisen sind:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ für }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

Das ist eine schöne Definition, jetzt wollen wir sie erklären. Dazu brauchen wir die Abbildung einer Folge, wir wählen also zum Beispiel die folgende Folge:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

Und ihr Graph:

Aus dem Graphen können wir schön ablesen, dass die Folge gegen fünf konvergiert, dass also der Grenzwert dieser Folge fünf ist. Bevor ich an dieser Folge die Definition des Grenzwerts zu demonstrieren beginne, füge ich dem Graphen noch ein paar Farben hinzu:

Wir wissen schon, dass der Grenzwert dieser Folge fünf ist. Im ersten Teil der Definition ist von ϵ>0 die Rede, also von einem Epsilon, das größer als null ist. Epsilon stellt hier die Umgebung des Grenzwerts dar, die Umgebung eines Punktes. Größer als null ist es deshalb, weil eine Umgebung weder negativ noch null sein kann. In der Abbildung ist diese Umgebung durch die horizontalen grünen Linien auf der y-Achse dargestellt. Der Punkt ist hier der Wert fünf und die Umgebung des Punktes sind jene grünen Linien auf der y-Achse. Die Umgebung als solche ist in beide Richtungen definiert, nach oben und nach unten. Diesen gedachten Streifen, der von den grünen horizontalen Linien begrenzt wird, werden wir nun brauchen. In der Abbildung gilt ϵ = 1.

Unser Ziel ist es, auf der unteren horizontalen Achse eine solche Zahl n₀ zu finden, die die untere Achse in zwei Teile teilt. Dabei muss gelten, dass sich alle Glieder der Folge rechts von dieser Zahl n₀ in diesem grünen Streifen befinden. Wo sich die Zahlen links von n₀ befinden, ist nicht wichtig, wir müssen nicht das kleinste n₀ suchen, für das diese Definition gilt. In der Abbildung gilt n₀ = 12.

Was bedeutet es eigentlich, dass ein Glied der Folge im grünen Streifen liegt? Dass es vom Grenzwert (in diesem Fall von der Zahl fünf) höchstens den Abstand Epsilon hat. Und genau das sagt die Definition: |a_n − a|<ϵ. Ich erinnere daran, dass der Wert a den Grenzwert bezeichnet, in unserem Fall gilt also: a = 5. Versuchen wir, den Wert des fünfzehnten Elements zu berechnen:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Nun setzen wir in die Beziehung |a_n − a|<ϵ ein:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Wir sehen, dass die Ungleichung gilt. Dieser Punkt erfüllt die Definition. Die Zahl 0,3125 drückt den Abstand zwischen dem fünfzehnten Glied der Folge und dem Grenzwert der Folge aus. In der Abbildung ist dieser Abstand durch eine kurze violette Strecke hervorgehoben. Wenn wir auf diese Weise alle Zahlen größer als n₀ testen würden, würden wir feststellen, dass diese Ungleichung weiterhin gilt. Die Zahl a = 5 erfüllt also die Definition des Grenzwerts dieser Folge.

In der Definition steckt aber eine wichtige Sache. Es steht dort, dass wir für jedes ϵ>0 die Zahl n₀ finden können müssen. Also für beliebig großes Epsilon, vor allem aber für beliebig kleines Epsilon. Wie klein wir Epsilon auch machen (aber es bleibt eine positive Zahl), wir müssen trotzdem ein n₀ finden können.

Versuchen wir also, Epsilon auf einen kleineren Wert zu verkleinern. Was passiert? Der grüne Streifen, in den wir hineinpassen müssen, wird schmaler. Das stört uns aber überhaupt nicht, wir erhöhen einfach den Wert von n₀ – wir verschieben es nach rechts. Das Verkleinern und das Verschieben zeigt die folgende Abbildung:

Diese Verschiebung veranschaulicht schön das Verhalten des Grenzwerts. Vom Grenzwert erwarten wir, dass sich die Glieder der Folge ihm allmählich annähern, dass ihr Abstand vom Grenzwert ständig kleiner wird. (Der Abstand vom Grenzwert ist das, was wir vorhin berechnet haben, die violette Linie in der Abbildung.) Wenn der Abstand ständig kleiner wird und sich die Glieder dem Grenzwert annähern, müssen sie irgendwann in einen Zustand kommen, in dem sie dem Grenzwert näher sind als Epsilon. Und damit haben wir unseren Wert n₀ gefunden. Wenn wir dagegen Epsilon größer wählen, können wir n₀ kleiner wählen:

Am Anfang habe ich erwähnt, dass sich die Folge ihrem Grenzwert ständig annähert, ihn aber nie berührt. Eine Folge kann ihren Grenzwert aber durchaus berühren, sie kann ihren Grenzwert sogar unendlich oft annehmen. Zum Beispiel hat die konstante Folge a_n = 1 in jedem Punkt den Wert eins und auch ihr Grenzwert ist eins.

Demonstration der Nichtexistenz des Grenzwerts

Versuchen wir, die Definition der Folge so abzuändern, dass sie dem folgenden Graphen entspricht: (die Vorschrift selbst ist für den Moment nicht wichtig)

Die Folge verhält sich wie im vorherigen Fall, außer beim zehnten, zwanzigsten, dreißigsten usw. Glied der Folge (nehmen wir an, dass diese Glieder immer gleich der Zahl 3,5 sind – sie steigen und fallen in keiner Weise). Diese Glieder fallen sozusagen aus dem Rhythmus. In die Abbildung habe ich zwei Umgebungen eingezeichnet, Epsilon eins und zwei. Wie wir sehen, können wir für ϵ₂ (die größere Epsilon-Umgebung) ein n₀ finden, sodass alle weiteren Glieder im grünen Streifen liegen. Aber wenn wir den Wert von Epsilon auf ϵ₁ verringern, finden wir kein solches n₀ mehr – jedes zehnte Glied liegt außerhalb dieser Umgebung. Diese Folge hätte an der Stelle fünf keinen Grenzwert (und auch sonst nirgends einen).

Beispiele weiterer Grenzwerte

Ein Beispiel für eine Folge, die überhaupt keinen Grenzwert hat, ist a_n = sin n, dargestellt in der folgenden Abbildung:

Wir sehen, dass die Folge gegen keine Zahl konvergiert, die Glieder der Folge fallen und steigen ständig. Eine solche Folge nennen wir divergent.

Bisher haben wir konvergente Folgen gezeigt, die ihrem Grenzwert von einer Seite her zustrebten. Eine Folge kann sich dem Grenzwert aber auch von beiden Seiten nähern, wie diese Folge zeigt

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Auch diese Folge konvergiert gegen null.

Uneigentlicher Grenzwert

Bisher haben wir über den eigentlichen Grenzwert gesprochen, also über den Fall, dass sich die Folge einer reellen Zahl annähert. Aber wie ist es bei der Folge a_n = n? Welcher reellen Zahl nähert sich die Folge? Sieh dir den Graphen an:

Offenbar nähert sie sich keiner reellen Zahl, sondern wächst über alle Grenzen, wächst ins Unendliche. Eine solche Folge hat also einen Grenzwert im Unendlichen und von einem solchen Grenzwert sagen wir, dass er uneigentlich ist. Die Definition des uneigentlichen Grenzwerts ist einfach. Was bedeutet es, dass eine Folge ins Unendliche wächst? Dass wir, wenn wir irgendeine reelle Zahl A wählen, beliebig groß, immer einen Index n₀ finden, sodass für alle Glieder der Folge, die hinter diesem Glied stehen, gilt, dass sie größer als diese Zahl A sind. Kurz: Wenn wir uns eine Schranke A wählen, dann gilt ab einer gewissen Stelle der Folge, dass alle Glieder größer als dieses A sind. Mathematisch aufgeschrieben:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Am Anfang haben wir „für alle A“, also für alle Schranken, die wir wählen wollten. Dann haben wir den Existenzquantor, der besagt, dass es einen Index n₀ geben muss, für den gilt: Wenn n größer als dieses n₀ ist, dann ist der Wert des Glieds a_n größer als die Schranke, die wir am Anfang gewählt haben, also A. Eine ähnliche Definition gilt für den uneigentlichen Grenzwert im Minus-Unendlichen.

Methoden zur Berechnung von Grenzwerten

Wir kennen schon einige grundlegende Methoden, wie man den Grenzwert einer Folge berechnet. Verschiedene Abwandlungen der Folge a_n = n wie zum Beispiel

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

haben den Grenzwert im Plus-Unendlichen. Dagegen haben Folgen vom Typ

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

den Grenzwert null. Nun führen wir einige grundlegende Beziehungen für das Rechnen mit Folgen an. Nehmen wir an, dass gilt

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Dann gelten auch diese Beziehungen:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

Die erste Formel könnten wir im folgenden Beispiel anwenden:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

Und was ist in dem Fall, dass wir ein solches Beispiel haben?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Hier entsteht ein Problem, denn der Term im Zähler nähert sich im Unendlichen dem Unendlichen, der Term im Nenner nähert sich ebenfalls dem Unendlichen. Wenn wir aber im Zähler und im Nenner unendlich haben, erhalten wir einen sogenannten unbestimmten Ausdruck. Wir können einfach nicht bestimmen, was dieser Ausdruck ergibt:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Unsere Aufgabe wird es sein, den Term so umzuformen, dass dieser unbestimmte Ausdruck nicht entsteht. Wenn es uns gelingt, aus dem Nenner oder aus dem Zähler die Variable n zu entfernen, können wir schon einen Ausdruck erhalten, in dem nur noch ein Unendlich steht.

Den Term formen wir zuerst so um, dass wir jedes Glied durch die Variable n dividieren, also den Bruch mit dem Term 1/n erweitern.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Wir sehen, dass im Nenner keine Variable n mehr steht und sich der Term im Nenner im Unendlichen daher nicht dem Unendlichen nähert. Nach den vorherigen Formeln können wir den ganzen Grenzwert in mehrere kleinere zerlegen, indem wir die Grenzwerte aller Terme getrennt berechnen und die Ergebnisse addieren und dividieren.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Damit sind wir in der Situation, dass wir schon alle Grenzwerte berechnen können. Tun wir es.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Der Grenzwert dieser Folge ist die Zahl 1,5.

Versuchen wir ein weiteres Beispiel:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Hier können wir entweder dasselbe Verfahren wie vorhin verwenden oder wir können versuchen, eine logische Überlegung anzustellen. Die Funktion n² wird die Folge viel schneller nach oben ziehen, als die Funktion n sie nach unten zieht. Die Funktion n² ist viel stärker und deshalb wird der ganze Term den Grenzwert im Unendlichen haben. Versuchen wir es auch zu berechnen. Wieder dividieren wir jeden Term durch n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Noch ein paar Worte dazu, warum wir durch n dividiert haben und nicht zum Beispiel durch n², das im Term ebenfalls vorkommt. Unser Ziel ist es, wie wir wissen, eine Variable loszuwerden. Wir wissen aber, dass der Wert des Nenners nicht null sein darf, sonst würden wir wieder einen unbestimmten Ausdruck erhalten. Den Bruch erweitern wir mit einem solchen Term, dass im Nenner keine Null entsteht. Das bedeutete in diesem Fall, ihn mit dem Term mit dem höchsten Exponenten im Nenner zu erweitern.

Wir können also sagen, dass sich der Grenzwert nach der Funktion richtet, die der Größenordnung nach schneller wächst. Achte aber auf die Vorzeichen, auch beim Rechnen mit dem Unendlichen müssen wir das Vorzeichen beibehalten:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$