Grenseverdi til en følge

Grenseverdien til en følge er tallet som en gitt følge nærmer seg i det uendelige. Grenseverdien til en følge er en slags forløper til grenseverdien til en funksjon, som har stor betydning i analysen.

Kort innføring i grenseverdier

Grenseverdien til en følge er tallet som en gitt følge av tall hele tiden kommer nærmere (og kanskje til slutt også når). Det er best å se på en figur som viser følgen gitt ved $a_n=\frac{1}{n}$:

På figuren ser vi at leddene i følgen kommer stadig nærmere null. Jo større n er, desto mindre er verdien av a_n, og desto nærmere null kommer den. Grafen berører aldri den vannrette aksen, fordi likningen 1/n = 0 aldri er oppfylt (der n er et naturlig tall). Likevel er det verdt å finne ut hvilket tall hele følgen nærmer seg. Spørsmålet kan altså være: Hvis vi lar n vokse hele tiden, hvilket tall nærmer verdien i følgen seg? Hvis vi lar n gå mot det uendelige, hvilken verdi får leddet i følgen? Nettopp dette løser grenseverdier. Vi skriver den med $lim$. Under skriver vi hvilket tall n nærmer seg, og for følger er det alltid det uendelige. Hele skrivemåten kan for eksempel se slik ut:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Vi leser: «Grenseverdien til følgen én delt på n når n går mot uendelig, er null.» Noen flere trivielle eksempler: Hva er grenseverdien til følgen a_n = n? Det er en enkel følge der a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 osv. Hvilket tall nærmer leddene seg i det uendelige? Jo større n, desto større a_n, så grenseverdien blir uendelig.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Du gjetter sikkert intuitivt at grenseverdien til følgen a_n = n² også er uendelig. Denne følgen vokser enda raskere enn den forrige. Grenseverdien til følgen $a_n=\frac{1}{2n}$ synker derimot mot null enda raskere enn i den første eksempelfølgen.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Definisjon av endelig grenseverdi til en følge

Nå er det på tide å definere grenseverdien til en følge ordentlig.

Følgen ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ har endelig grenseverdi a (konvergerer mot grenseverdien a ∈ ℝ, er konvergent) hvis det for hver ϵ > 0 finnes et n₀ ∈ ℕ slik at |a_n − a| < ϵ for alle n>n₀.

Skrivemåter som brukes:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ når }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

Det er en fin definisjon, og nå skal vi forklare den. Til det trenger vi en figur av en følge, så vi velger for eksempel følgende følge:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

Og grafen til den:

Fra grafen kan vi fint lese at følgen konvergerer mot fem, altså at grenseverdien til denne følgen er fem. Før jeg begynner å demonstrere definisjonen av grenseverdi på denne følgen, legger jeg til litt farger i grafen:

Vi vet allerede at grenseverdien til denne følgen er fem. I den første delen av definisjonen snakkes det om ϵ>0, altså et epsilon som er større enn null. Epsilon er her omegnen til grenseverdien, omegnen til et punkt. Det er større enn null fordi en omegn verken kan være negativ eller null. På figuren er omegnen vist med de vannrette grønne linjene på y-aksen. Punktet er her verdien fem, og omegnen til punktet er de grønne linjene på y-aksen. Selve omegnen er definert i begge retninger, både opp og ned. Dette tenkte båndet mellom de grønne vannrette linjene trenger vi nå. På figuren er ϵ = 1.

Målet vårt er å finne et tall n₀ på den nederste vannrette aksen som deler aksen i to deler. Alle leddene i følgen til høyre for tallet n₀ må ligge i dette grønne båndet. Hvor leddene til venstre for n₀ ligger, er uvesentlig, og vi trenger ikke å finne det minste n₀ som definisjonen gjelder for. På figuren er n₀ = 12.

Hva betyr det egentlig at et ledd i følgen ligger i det grønne båndet? Det betyr at det har en avstand fra grenseverdien (her fra tallet fem) som er høyst epsilon. Og det er nettopp det definisjonen sier: |a_n − a|<ϵ. Husk at verdien a er grenseverdien, så i vårt tilfelle er a = 5. La oss prøve å regne ut verdien av det femtende leddet:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Nå setter vi inn i uttrykket |a_n − a|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Vi ser at ulikheten gjelder. Dette punktet oppfyller definisjonen. Tallet 0,3125 er avstanden mellom det femtende leddet i følgen og grenseverdien til følgen. På figuren er denne avstanden markert med et kort fiolett linjestykke. Hvis vi testet alle tall større enn n₀ på denne måten, ville vi se at ulikheten fortsatt gjelder. Tallet a = 5 oppfyller dermed definisjonen av grenseverdien til denne følgen.

I definisjonen er det imidlertid én viktig ting. Der står det at for hver ϵ>0 må vi kunne finne dette tallet n₀. Altså for et vilkårlig stort epsilon, men framfor alt for et vilkårlig lite epsilon. Uansett hvor lite vi gjør epsilon (men fortsatt positivt), må vi kunne finne et n₀.

La oss derfor prøve å gjøre epsilon mindre. Hva skjer? Det grønne båndet vi må ligge innenfor, blir smalere. Det gjør oss ingenting, vi øker bare verdien av n₀, altså flytter den mot høyre. Den neste figuren viser både innsnevringen og forskyvningen:

Denne forskyvningen viser fint hvordan grenseverdien oppfører seg. Vi forventer at leddene i følgen gradvis kommer nærmere grenseverdien, og at avstanden til grenseverdien hele tiden minker. (Avstanden til grenseverdien er det vi nettopp regnet ut, den fiolette linjen på figuren.) Hvis avstanden hele tiden minker og leddene nærmer seg grenseverdien, må de en gang komme så nær grenseverdien at avstanden er mindre enn epsilon. Og da har vi funnet vår verdi n₀. Hvis vi derimot velger et større epsilon, kan vi velge et mindre n₀:

I begynnelsen nevnte jeg at en følge hele tiden kommer nærmere grenseverdien, men aldri berører den. Likevel kan en følge godt berøre grenseverdien sin, og den kan til og med ta grenseverdien som verdi uendelig mange ganger. For eksempel har den konstante følgen a_n = 1 verdien én i hvert punkt, og grenseverdien er også én.

Demonstrasjon av at grenseverdien ikke finnes

La oss prøve å endre definisjonen av følgen slik at den passer til følgende graf: (selve formelen er uvesentlig akkurat nå)

Følgen oppfører seg som i forrige tilfelle, bortsett fra det tiende, tjuende, trettiende osv. leddet i følgen (anta at disse leddene alltid er lik 3,5, altså at de verken vokser eller avtar). Disse leddene faller på en måte ut av rytmen. På figuren har jeg tegnet to omegner, epsilon én og to. Som vi ser, finner vi for ϵ₂ (den største epsilon-omegnen) et n₀ slik at alle senere ledd ligger i det grønne båndet. Men når vi minker epsilon til ϵ₁, finner vi ikke lenger noe slikt n₀, siden hvert tiende ledd havner utenfor omegnen. Denne følgen ville ikke ha grenseverdi i punktet fem (og den har heller ingen grenseverdi andre steder).

Eksempler på andre grenseverdier

Et eksempel på en følge som ikke har noen grenseverdi, er a_n = sin n, vist på neste figur:

Vi ser at følgen ikke konvergerer mot noe tall, leddene i følgen går hele tiden opp og ned. En slik følge kaller vi divergent.

Hittil har vi sett på konvergente følger som konvergerte mot grenseverdien fra én side. Men en følge kan nærme seg grenseverdien fra begge sider, som denne følgen viser

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Også denne følgen konvergerer mot null.

Uendelig grenseverdi

Til nå har vi snakket om endelig grenseverdi, altså tilfellet der en følge nærmer seg et reelt tall. Men hva med en følge som a_n = n? Hvilket reelt tall nærmer følgen seg? Se på grafen:

Den nærmer seg tydeligvis ikke noe reelt tall, men vokser over alle grenser, den vokser mot det uendelige. En slik følge har altså en grenseverdi i det uendelige, og vi sier at en slik grenseverdi er uendelig. Definisjonen av uendelig grenseverdi er enkel. Hva betyr det at en følge vokser mot det uendelige? At hvis vi velger et vilkårlig stort reelt tall A, finner vi alltid en indeks n₀ slik at alle leddene i følgen etter dette leddet er større enn tallet A. Kort sagt: hvis vi velger en grense A, er alle leddene fra et visst sted i følgen større enn A. Skrevet matematisk:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Først har vi for alle A, altså for alle grenser vi kunne tenke oss å velge. Så har vi eksistenskvantoren, som sier at det må finnes en indeks n₀ slik at hvis n er større enn dette n₀, er verdien av leddet a_n større enn grensen vi valgte i begynnelsen, altså A. Definisjonen av grenseverdien minus uendelig er tilsvarende.

Metoder for å regne ut grenseverdier

Vi kjenner allerede noen grunnleggende metoder for å regne ut grenseverdien til en følge. Ulike varianter av følgen a_n = n, for eksempel

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

har grenseverdi pluss uendelig. Følger av typen

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

har derimot grenseverdi null. Nå går vi gjennom noen grunnleggende sammenhenger for regning med følger. Anta at

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Da gjelder også disse sammenhengene:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

Den første formelen kan vi bruke i følgende eksempel:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

Og hva hvis vi har et slikt eksempel?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Her oppstår det et problem, for uttrykket i telleren går mot uendelig, og uttrykket i nevneren går også mot uendelig. Men når vi har uendelig både i teller og nevner, får vi et såkalt ubestemt uttrykk. Vi kan rett og slett ikke avgjøre hva dette uttrykket er lik:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Oppgaven vår blir å omforme uttrykket slik at dette ubestemte uttrykket ikke oppstår. Hvis det lykkes oss å fjerne variabelen n fra nevneren eller telleren, kan vi få et uttrykk der det bare er ett uendelig.

Først omformer vi uttrykket ved å dele hvert ledd på variabelen n, eller med andre ord utvide brøken med 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Vi ser at det ikke lenger er noen variabel n i nevneren, så uttrykket i nevneren går ikke mot uendelig. Etter formlene vi har sett, kan vi dele hele grenseverdien opp i flere mindre ved å regne ut grenseverdiene til alle uttrykkene hver for seg, og så legge sammen og dele resultatene.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Nå er vi kommet til et punkt der vi klarer å regne ut alle grenseverdiene. La oss gjøre det.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Grenseverdien til denne følgen er tallet 1,5.

Vi prøver et eksempel til:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Her kan vi enten bruke samme framgangsmåte som sist, eller vi kan prøve å resonnere logisk. Funksjonen n² trekker følgen opp langt raskere enn funksjonen n trekker den ned. Funksjonen n² er langt sterkere, så hele uttrykket får grenseverdi uendelig. Vi regner det også ut. Igjen deler vi hvert ledd på n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Noen ord om hvorfor vi delte på n og ikke for eksempel på n², som også forekommer i uttrykket. Målet vårt er, som vi vet, å bli kvitt en variabel. Men vi vet at verdien av nevneren ikke må bli null, for da ville vi igjen få et ubestemt uttrykk. Vi utvider brøken med et uttrykk som gjør at det ikke oppstår null i nevneren. I dette tilfellet betydde det å utvide med uttrykket med den høyeste eksponenten i nevneren.

Vi kan si at grenseverdien styres av funksjonen som vokser størrelsesordener raskere. Men vær oppmerksom på fortegnene, også når vi regner med uendelig må vi beholde fortegnet:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$