Po ilu latach pieniądze się podwoją (kalkulator)

Pieniądze ulokowane na procent rosną procentem składanym, więc każdego roku przybywa ich więcej niż w roku poprzednim. Przy 6% rocznie z 20 000 zł robi się 40 000 zł po około 11,9 roku. Bankierzy potrafią to oszacować z głowy regułą 72: liczbę 72 dzielimy przez oprocentowanie w procentach, 72:6 = 12 lat. Szacunek jest zaskakująco dobry.

Działa to także w drugą stronę. Przy inflacji 6% rocznie pieniądze stracą połowę swojej wartości też mniej więcej po 12 latach.

Kalkulator zakłada, że odsetki są naliczane raz w roku.

Jak to się liczy

Dokładny czas i szacunek regułą 72 dają wzory

$$n=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}n\approx \frac{72}{p}$$

Tu p to roczne oprocentowanie w procentach, a n to liczba lat.

Po n latach wkład zostanie pomnożony przez 1,06ⁿ. Chcemy, żeby wynosiło to dwa:

$$1,{06}^n=2$$

Równanie logarytmujemy i dzielimy:

$$n=\frac{\ln 2}{\ln 1,06}=\frac{\mathrm{0,693}1}{\mathrm{0,058}3}\approx 11,9$$

Reguła 72 daje 12 lat, czyli niecałe półtora miesiąca więcej. Działa, bo dla małych oprocentowań ln(1 + x) jest prawie dokładnie równe x, a 100 · ln 2 ≈ 69,3. Zamiast 69 bierze się 72, bo jest podzielne przez 2, 3, 4, 6, 8, 9 i 12, a do tego trochę wyrównuje błąd dla typowych oprocentowań w okolicach 8%. Przy bardzo niskim lub bardzo wysokim oprocentowaniu reguła już zawodzi: przy 1% myli się o około 3%, przy 30% już o 9%.