Calcolatrice: quanto tempo per raddoppiare il denaro

Il denaro depositato a interesse cresce secondo l’interesse composto, quindi ogni anno si aggiunge più dell’anno precedente. Con il 6% annuo, da 10.000 € si arriva a 20.000 € in circa 11,9 anni. Chi lavora in banca lo stima a mente con la regola del 72: il numero 72 si divide per il tasso in percentuale, 72:6 = 12 anni. La stima è sorprendentemente buona.

Lo stesso vale al contrario: con un’inflazione del 6% annuo, il denaro perde metà del suo valore, anche qui in circa 12 anni.

La calcolatrice considera gli interessi accreditati una volta all’anno.

Come si calcola

Il tempo esatto e la stima con la regola del 72 si ottengono con le formule

$$n=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}n\approx \frac{72}{p}$$

Qui p è il tasso annuo in percentuale e n il numero di anni.

Dopo n anni il deposito si moltiplica per 1,06ⁿ. Vogliamo che sia 2:

$$1,{06}^n=2$$

Applichiamo il logaritmo naturale a entrambi i membri e dividiamo:

$$n=\frac{\ln 2}{\ln 1,06}=\frac{\mathrm{0,693}1}{\mathrm{0,058}3}\approx 11,9$$

La regola del 72 dà 12 anni, cioè nemmeno un mese e mezzo in più. Funziona perché per tassi piccoli ln(1 + x) è quasi esattamente x, e 100 · ln 2 ≈ 69,3. Al posto di 69 si usa 72, perché è divisibile per 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12, e inoltre compensa un po’ l’errore per i tassi usuali intorno all’8%. Con tassi molto bassi o molto alti la regola si allontana: con l’1% sbaglia di circa il 3%, con il 30% già di circa il 9%.