Calculatrice : combien de temps pour doubler son argent

L’argent placé avec des intérêts composés croît, si bien que chaque année il rapporte davantage que la précédente. À un taux de 6 % par an, 4 000 € deviennent 8 000 € en 11,9 ans environ. Les banquiers savent l’estimer de tête grâce à la règle du 72 : on divise 72 par le taux en pourcentage, soit 72:6 = 12 ans. L’estimation est étonnamment bonne.

Le même raisonnement fonctionne dans l’autre sens. Avec une inflation de 6 % par an, l’argent perd lui aussi la moitié de sa valeur en environ 12 ans.

La calculatrice suppose que les intérêts sont versés une fois par an.

Comment cela se calcule

La durée exacte et l’estimation par la règle du 72 sont données par les formules

$$n=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}n\approx \frac{72}{p}$$

Ici p est le taux annuel en pourcentage et n le nombre d’années.

Après n ans, le dépôt est multiplié par 1,06ⁿ. On veut que ce soit égal à deux :

$$1,{06}^n=2$$

On prend le logarithme des deux membres et on divise :

$$n=\frac{\ln 2}{\ln 1,06}=\frac{\mathrm{0,693}1}{\mathrm{0,058}3}\approx 11,9$$

La règle du 72 donne 12 ans, soit moins d’un mois et demi d’écart. Elle fonctionne parce que, pour de petits taux, ln(1 + x) vaut presque exactement x, et que 100 · ln 2 ≈ 69,3. On prend 72 à la place de 69, car 72 est divisible par 2, 3, 4, 6, 8, 9 et 12, ce qui compense un peu l’erreur pour les taux courants autour de 8 %. Pour un taux très bas ou très élevé, la règle s’éloigne nettement du résultat exact : à 1 %, elle se trompe d’environ 3 %, à 30 % déjà de 9 %.