Beregner: hvornår er pengene fordoblet

Penge, der står til forrentning, vokser med rentes rente, så der kommer mere til hvert år end året før. Ved 6 % om året bliver 100.000 kr. til 200.000 kr. på cirka 11,9 år. Bankfolk kan lave et overslag i hovedet med 72-reglen: De dividerer tallet 72 med renten i procent, 72:6 = 12 år. Overslaget er overraskende godt.

Det virker på samme måde omvendt. Ved en inflation på 6 % om året mister pengene halvdelen af deres værdi også på cirka 12 år.

Beregneren regner med en rente, der tilskrives én gang om året.

Sådan beregnes det

Den præcise tid og overslaget med 72-reglen er givet ved formlerne

$$n=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}n\approx \frac{72}{p}$$

Her er p den årlige rente i procent og n antallet af år.

Efter n år er indskuddet ganget med 1,06ⁿ. Vi vil have, at det bliver to:

$$1,{06}^n=2$$

Vi tager logaritmen på begge sider og dividerer:

$$n=\frac{\ln 2}{\ln 1,06}=\frac{\mathrm{0,693}1}{\mathrm{0,058}3}\approx 11,9$$

72-reglen giver 12 år, altså mindre end halvanden måned mere. Den virker, fordi ln(1 + x) for små renter er næsten præcis x, og fordi 100 · ln 2 ≈ 69,3. I stedet for 69 bruger man 72, fordi tallet kan deles med 2, 3, 4, 6, 8, 9 og 12, og fordi det desuden udjævner lidt af fejlen for almindelige renter omkring 8 %. Ved en meget lav eller meget høj rente begynder reglen at komme på afveje: Ved 1 % tager den fejl med omkring 3 %, ved 30 % allerede med 9 %.