Αριθμομηχανή: σε πόσο χρόνο διπλασιάζονται τα χρήματα

Χρήματα κατατεθειμένα με τόκο αυξάνονται με ανατοκισμό, οπότε κάθε χρόνο προστίθεται περισσότερο από τον προηγούμενο. Με επιτόκιο 6% τον χρόνο γίνονται τα 10.000 € 20.000 € σε περίπου 11,9 χρόνια. Οι τραπεζίτες το εκτιμούν με το μυαλό με τον κανόνα του 72: διαιρούν το 72 με το επιτόκιο σε ποσοστά, 72:6 = 12 χρόνια. Η εκτίμηση είναι εκπληκτικά καλή.

Ισχύει και το αντίστροφο. Με πληθωρισμό 6% τον χρόνο χάνουν τα χρήματα τη μισή αξία τους και πάλι περίπου σε 12 χρόνια.

Η αριθμομηχανή υπολογίζει με τόκο που πιστώνεται μία φορά τον χρόνο.

Πώς υπολογίζεται

Το ακριβές χρονικό διάστημα και την εκτίμηση με τον κανόνα του 72 δίνουν οι τύποι

$$n=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}n\approx \frac{72}{p}$$

Εδώ p είναι το ετήσιο επιτόκιο σε ποσοστά και n ο αριθμός των ετών.

Μετά από n χρόνια το κεφάλαιο πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό 1,06ⁿ. Θέλουμε να γίνει δύο:

$$1,{06}^n=2$$

Την εξίσωση λογαριθμίζουμε και διαιρούμε:

$$n=\frac{\ln 2}{\ln 1,06}=\frac{\mathrm{0,693}1}{\mathrm{0,058}3}\approx 11,9$$

Ο κανόνας του 72 δίνει 12 χρόνια, δηλαδή ούτε ενάμισι μήνα παραπάνω. Λειτουργεί επειδή για μικρά επιτόκια το ln(1 + x) είναι σχεδόν ακριβώς x και 100 · ln 2 ≈ 69,3. Αντί για 69 παίρνουμε 72, επειδή διαιρείται με 2, 3, 4, 6, 8, 9 και 12 και επιπλέον μειώνει λίγο το σφάλμα για συνηθισμένα επιτόκια γύρω στο 8%. Σε πολύ χαμηλό ή πολύ υψηλό επιτόκιο ο κανόνας ξεφεύγει: στο 1% απέχει περίπου 3%, στο 30% ήδη 9%.