Kalkulačka: za jak dlouho se peníze zdvojnásobí

Peníze uložené na úrok rostou složeným úrokem, takže každý rok přibude víc než ten předchozí. Při 6 % ročně se ze 100 000 Kč stane 200 000 Kč asi za 11,9 roku. Bankéři to umí odhadnout z hlavy pravidlem 72: číslo 72 vydělí úrokem v procentech, 72:6 = 12 let. Odhad je to překvapivě dobrý.

Stejně funguje i obráceně. Při inflaci 6 % ročně ztratí peníze polovinu své hodnoty taky zhruba za 12 let.

Kalkulačka počítá s úrokem připisovaným jednou ročně.

Jak se to počítá

Přesnou dobu a odhad pravidlem 72 dávají vzorce

$$n=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}n\approx \frac{72}{p}$$

Tady p je roční úrok v procentech a n počet let.

Po n letech se vklad vynásobí číslem 1,06ⁿ. Chceme, aby to byla dvojka:

$$1,{06}^n=2$$

Rovnici zlogaritmujeme a vydělíme:

$$n=\frac{\ln 2}{\ln 1,06}=\frac{\mathrm{0,693}1}{\mathrm{0,058}3}\doteq 11,9$$

Pravidlo 72 dá 12 let, tedy ani ne o měsíc a půl víc. Funguje proto, že pro malé úroky je ln(1 + x) skoro přesně x a 100 · ln 2 ≐ 69,3. Místo 69 se bere 72, protože je dělitelné 2, 3, 4, 6, 8, 9 i 12, a navíc trochu vyrovná chybu pro běžné úroky kolem 8 %. Při velmi nízkém nebo velmi vysokém úroku už pravidlo ujíždí: při 1 % se mýlí asi o 3 %, při 30 % už o 9 %.