Mennyi idő alatt duplázódik meg a pénz (számológép)

A kamatra helyezett pénz kamatos kamattal nő, ezért minden évben több kamat jön hozzá, mint az előzőben. 6%-os éves kamatnál 1 500 000 Ft-ból körülbelül 11,9 év alatt lesz 3 000 000 Ft. A bankárok fejből is meg tudják becsülni a 72-es szabállyal: a 72-t elosztják az évi kamat százalékban megadott értékével, 72:6 = 12 év. A becslés meglepően jó.

Ugyanígy működik fordítva is. 6%-os inflációnál a pénz is nagyjából 12 év alatt veszíti el a vásárlóerejének felét.

A számológép évente egyszer jóváírt kamattal számol.

A számítás menete

A pontos időt és a 72-es szabállyal kapott becslést ezek a képletek adják:

$$n=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}n\approx \frac{72}{p}$$

Itt p az éves kamat százalékban, n pedig az évek száma.

n év múlva a betétet meg kell szorozni az 1,06ⁿ számmal. Azt szeretnénk, hogy ez a szám kettő legyen:

$$1,{06}^n=2$$

Az egyenlet mindkét oldalát logaritmáljuk, majd osztunk:

$$n=\frac{\ln 2}{\ln 1,06}=\frac{\mathrm{0,693}1}{\mathrm{0,058}3}\approx 11,9$$

A 72-es szabály 12 évet ad, vagyis nem egészen másfél hónappal több a pontos értéknél. Azért működik, mert kis kamatoknál ln(1 + x) szinte pontosan x, és 100 · ln 2 ≈ 69,3. A 69 helyett a 72-t használjuk, mert osztható 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 8-cal, 9-cel és 12-vel, és emellett a szokásos, 8% körüli kamatoknál kicsit csökkenti a hibát. Nagyon alacsony vagy nagyon magas kamatnál a szabály már pontatlan: 1%-nál nagyjából 3%-kal, 30%-nál már 9%-kal téved.