複利
利息をくり返しつけるときは、利息を複利で計算します。たとえば、1年に1回利息がつく借金を5年間借りていれば、利息は5回つきます。これを複利といいます。
複利
借りている金額に何回か利息がつくとき、複利といいます。前の記事の式ではパーセントを使いましたが、ここからは、パーセントをふつうの小数に直したほうが簡単です。それには、パーセントを100で割るだけです。利率が50%なら0.5、つまり2分の1になります。利率が7%なら0.07になります。この小数を、文字「d」で表すことにします。式は次のようになります。
この数を借りている金額にかけると、利息が直接得られます。大輝おじさんが、2,000万円を年利10%で貸してくれたとします。小数では0.1です。1年後の利息は、20,000,000 · 0.1 = 2,000,000 です。つまり、借りた金額より200万円多く払うことになります。次の年の利息はいくらでしょうか。もとの金額に1年目の利息をたし、また0.1をかけます。
さらに1年たつと、利息だけで220万円払うことになります。1年目より多い金額です。
利息だけでなく、借りている金額を直接求めたいときは、小数で表した利率に1をたし、それを借りている金額にかければよいのです。
1年後には、2,200万円を借りていることになります。3年後に借りている金額を計算したいなら、1.1を何回か続けてかけます。
ここから、だんだん公式が見えてきます。かけ算では順番もかっこも関係ないので、この式は次のように書きかえられます。
あとは、累乗を使って書きなおすだけです。
ここから、一般の公式がすぐに導けます。
複利の公式
複利の公式は次のとおりです。このあと説明します。
文字「j」は元金、つまり借りている金額を表します。下の添え字は、利息が何回ついたかを表します。j0 は、まだ一度も利息がついていない金額、つまり最初に借りた金額（大輝おじさんからの2,000万円）です。文字「t」は、計算したい利息の回数を表します。10年先まで計算したいなら、t = 10 です。jt は、t 回利息がついたあとの借りている金額を表します。文字「d」は、小数で表した利率です（上を参照）。
全額を15年後に大輝おじさんに返すとしたら、どれだけ利息を払うことになるか計算してみましょう。
これは利息そのものではなく、最終的に借りている金額であることに注意しましょう。利息だけを知りたいなら、もとの借りた金額、つまり2,000万円をひく必要があります。63,544,963円です。
例題
翔太さんは新しい車を買いたくなりましたが、もちろんそんなお金はなかったので、500万円を借りました。利率は8%で、利息は毎年つきました。翔太さんはお金をどんどん使ってしまい、1年目は20万円しか返しませんでした。借りている金額は480万円に減りました。ところが、年の変わり目に利息がつき、その利息は 4,800,000 · 0.08 = 384,000 と計算されました。正月には、翔太さんの借金は 4,800,000 + 384,000 = 5,184,000 円になりました。最初より多い金額です。
翔太さんはまったく気にせず、また20万円だけ返しました。借金は498万4,000円になりました。利息がつくと、538万2,720円にはね上がりました。借りている金額は、前の年よりも、その前の年よりも多くなりました。翔太さんはそれに気づかず、その後も年に20万円ずつしか返しませんでした。一生返し続けましたが、それでも数千万円の借金を残して亡くなりました。こうはならないようにしましょう。
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章: 利息, 複利, インフレ, 月ごとの利息, 住宅ローンの利息の計算のしかた