Normalenvektor einer Geraden

Der Normalenvektor einer Geraden p ist ein Vektor, der senkrecht auf der Geraden p steht und dessen Koordinaten sich aus der allgemeinen Geradengleichung ergeben.

Motivation

Wir haben eine Gerade p, die durch die Punkte A(0 ∣ 1), B(2 ∣ 5) verläuft. Die Gerade entspricht dem Graphen der Funktion y = 2x + 1, also hat die allgemeine Geradengleichung die Form −2x + y − 1 = 0. Bild:

Die allgemeine Gleichung hat die Form ax + by + c = 0, in unserem Fall gilt für die Gleichung −2x + y − 1 = 0 also a = −2, b = 1, c = −1. Welche geometrische Bedeutung haben die Koeffizienten a, b? Zeichnen wir einfach mal zum Spaß den Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ in das Bild ein, d. h. den Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$:

Wir sehen ziemlich deutlich, dass dieser Vektor senkrecht auf der Geraden p steht. Das ist kein Zufall: Nehmen wir irgendeine allgemeine Geradengleichung ax + by + c = 0, dann steht der Vektor $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ senkrecht auf dieser Geraden. Einen solchen Vektor nennen wir Normalenvektor der Geraden p.

Eigenschaften des Normalenvektors

Aus den Eigenschaften des Skalarprodukts von Vektoren wissen wir, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren genau dann null ist, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Weil der Richtungsvektor der Geraden p parallel zur Geraden p ist, bedeutet das, dass jeder Richtungsvektor der Geraden p senkrecht auf dem Normalenvektor steht. Berechnen wir den Richtungsvektor aus der Strecke $\overrightarrow{AB}$, erhalten wir den Vektor

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=B-A=(2\mid 5)-(0\mid 1)=(2\mid 4)$$

Eingezeichnet im Bild:

Wenn wir ein bisschen mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren herumspielen, das zur Erinnerung so definiert ist

$$\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

dann stellen wir fest: Sind a, b reelle Zahlen, dann ergibt das Skalarprodukt der Vektoren $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$ sowie der Vektoren $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}b\\ -a\end{array}\right)$ immer null:

$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}b\\ -a\end{array}\right)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

Und jetzt kehren wir zur Geraden p zurück, die durch die allgemeine Gleichung ax + by + c = 0 gegeben ist, und zum Normalenvektor $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$, der senkrecht auf dieser Geraden steht. Aber Moment! Wegen der vorigen Eigenschaft wissen wir doch, dass die Vektoren $\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}b\\ -a\end{array}\right)$ mit dem Normalenvektor das Skalarprodukt null haben, also müssen die Vektoren $\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}b\\ -a\end{array}\right)$ senkrecht auf dem Normalenvektor stehen! Und weil der Normalenvektor senkrecht auf der Geraden steht, muss ein Vektor, der senkrecht auf diesem Vektor steht, umgekehrt parallel zur ursprünglichen Geraden p sein! Wahnsinn!

Wir können die Vektoren ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$ und ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=\left(\begin{array}{c}b\\ -a\end{array}\right)$ in das Bild einzeichnen. Die Gerade hat die allgemeine Gleichung −2x + y − 1 = 0, also haben wir nach dem Einsetzen die grünen Vektoren ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\end{array}\right)$ und ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$:

Bestimmung der allgemeinen Geradengleichung aus Normalenvektor und Punkt

Wir wissen schon, dass wir die allgemeine Geradengleichung recht einfach aus der Parameterform gewinnen können. Kennen wir den Normalenvektor $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, können wir die allgemeine Gleichung ebenfalls einfach bestimmen. Gegeben sei also ein Punkt A(5 ∣ 13), durch den die Gerade p verläuft, und ihr Normalenvektor $\overrightarrow{\mathbf{n}}=\left(\begin{array}{c}4\\ -6\end{array}\right)$. Die Gerade p hat die allgemeine Gleichung ax + by + c = 0, aus der Definition des Normalenvektors können wir die Koeffizienten a, b sofort bestimmen, sie sind gleich a = 4, b = −6, also gleich den Koordinaten des Normalenvektors. Die allgemeine Geradengleichung hat die Form

$$4x-6y+c=0$$

Es bleibt noch, den Koeffizienten c zu berechnen. Diese Gleichung, die die Gerade p beschreibt, muss für alle Punkte gelten, die auf der Geraden p liegen. Das heißt: Setzen wir für x, y die Koordinaten eines Punktes ein, der auf der Geraden p liegt, muss die Gleichung erfüllt sein. Es genügt also, den Punkt A einzusetzen, durch den die Gerade p sicher verläuft. Der Punkt A hat die Koordinaten A(5 ∣ 13), also setzen wir in die Gleichung 4x − 6y + c = 0 die Werte x = 5, y = 13 ein:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

Die vollständige allgemeine Geradengleichung der Geraden p hat also die Form

$$4x-6y+58=0.$$

Zwei Richtungsvektoren der Geraden p sind ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$ und ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\end{array}\right)$.