Vector normal de una recta

El vector normal de una recta r es un vector perpendicular a la recta r cuyas coordenadas proceden de la ecuación general de la recta.

Motivación

Tenemos una recta r que pasa por los puntos A(0, 1), B(2, 5). La recta corresponde a la gráfica de la función y = 2x + 1, así que la ecuación general de la recta tiene la forma −2x + y − 1 = 0. Figura:

La ecuación general tiene la forma ax + by + c = 0; en nuestro caso, para la ecuación −2x + y − 1 = 0 se cumple a = −2, b = 1, c = −1. ¿Qué significado geométrico tienen los parámetros a, b? Probemos, simplemente por diversión, a dibujar en la figura el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(a,b)$, es decir, el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-2,1)$:

Se ve con bastante claridad que este vector es perpendicular a la recta r. No es casualidad: si tomáramos cualquier ecuación general de una recta ax + by + c = 0, el vector (a, b) sería perpendicular a esa recta. A un vector así lo llamamos vector normal de la recta r.

Propiedades del vector normal

Por las propiedades del producto escalar de vectores sabemos que el producto escalar de dos vectores es nulo si y solo si los vectores son perpendiculares. Como el vector director de la recta r es paralelo a la recta r, cualquier vector director de la recta r es perpendicular al vector normal. Si calculamos el vector director a partir del segmento $\overrightarrow{AB}$, obtenemos el vector

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=B-A=(2,5)-(0,1)=(2,4)$$

Dibujado en la figura:

Si jugamos un poco con el producto escalar de dos vectores, que, como recordatorio, se define como

$$(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

descubrimos que, si tenemos números reales a, b, el producto escalar de los vectores (a, b) y (−b, a) y el de los vectores (a, b) y (b, −a) siempre da cero:

$$\begin{array}{rcl}(a,b)\cdot (-b,a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a,b)\cdot (b,-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

Y ahora volvamos a la recta r dada por la ecuación general ax + by + c = 0 y al vector normal (a, b), que es perpendicular a esta recta. ¡Pero espera! Gracias a la propiedad anterior sabemos que los vectores (−b, a) y (b, −a) tienen producto escalar nulo con el vector normal, ¡así que los vectores (−b, a) y (b, −a) tienen que ser perpendiculares al vector normal! Y como el vector normal es perpendicular a la recta, un vector perpendicular a este vector tiene que ser, a su vez, paralelo a la recta original r. ¡Genial!

Podemos dibujar en la figura los vectores ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-b,a)$ y ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(b,-a)$. La recta tiene la ecuación general −2x + y − 1 = 0, así que, al sustituir, tenemos los vectores verdes ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-1,-2)$ y ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(1,2)$:

Cálculo de la ecuación general de la recta a partir del vector normal y un punto

Ya sabemos que la ecuación general de la recta se puede obtener con bastante facilidad a partir de las ecuaciones paramétricas. Si conocemos el vector normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, también podemos determinar la ecuación general con facilidad. Tomemos, pues, un punto A(5, 13) por el que pasa la recta r y su vector normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(4,-6)$. La recta r tiene la ecuación general ax + by + c = 0; por la definición del vector normal podemos determinar enseguida los coeficientes a, b, que son iguales a a = 4, b = −6, es decir, a las coordenadas del vector normal. La ecuación general de la recta tiene la forma

$$4x-6y+c=0$$

Nos falta calcular el coeficiente c. Esta ecuación, que describe la recta r, debe cumplirse para todos los puntos que están en la recta r. Esto significa que, si sustituimos x, y por las coordenadas de un punto de la recta r, la ecuación debe cumplirse. Basta sustituir el punto A, por el que la recta r pasa con seguridad. El punto A tiene coordenadas A(5, 13), así que en la ecuación 4x − 6y + c = 0 sustituimos x = 5, y = 13:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

La ecuación general completa de la recta r tiene, pues, la forma

$$4x-6y+58=0.$$

Dos vectores directores de la recta r son ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(6,4)$ y ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(-6,-4)$.