Suoran normaalivektori

Suoran p normaalivektori on vektori, joka on kohtisuorassa suoraa p vastaan ja jonka koordinaatit saadaan suoran yleisestä yhtälöstä.

Johdanto

Meillä on suora p, joka kulkee pisteiden A = (0, 1), B = (2, 5) kautta. Suora on funktion y = 2x + 1 kuvaaja, joten suoran yleinen yhtälö on −2x + y − 1 = 0. Kuva:

Yleinen yhtälö on muotoa ax + by + c = 0, joten yhtälölle −2x + y − 1 = 0 pätee a = −2, b = 1, c = −1. Mikä on kertoimien a, b geometrinen merkitys? Piirretään kuvaan ihan huvikseen vektori $\overline{u}=(a,b)$, eli vektori $\overline{u}=(-2,1)$:

Näemme melko selvästi, että tämä vektori on kohtisuorassa suoraa p vastaan. Se ei ole sattumaa: jos otamme minkä tahansa suoran yleisen yhtälön ax + by + c = 0, vektori (a, b) on kohtisuorassa tätä suoraa vastaan. Tällaista vektoria sanotaan suoran p normaalivektoriksi.

Normaalivektorin ominaisuudet

Vektorien pistetulon ominaisuuksista tiedämme, että kahden vektorin pistetulo on nolla, jos ja vain jos vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Koska suoran p suuntavektori on yhdensuuntainen suoran p kanssa, se tarkoittaa, että mikä tahansa suoran p suuntavektori on kohtisuorassa normaalivektoria vastaan. Jos lasketaan suuntavektori janasta $\overrightarrow{AB}$, saadaan vektori

$$\overline{v}=B-A=(2,5)-(0,1)=(2,4)$$

Piirrettynä kuvaan:

Kun leikimme hetken kahden vektorin pistetulolla, joka määriteltiin muistutukseksi näin

$$(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

huomaamme, että kun a, b ovat reaalilukuja, vektorien (a, b) ja (−b, a) sekä vektorien (a, b) ja (b, −a) pistetuloksi tulee aina nolla:

$$\begin{array}{rcl}(a,b)\cdot (-b,a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a,b)\cdot (b,-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

Palataan nyt suoraan p, joka on annettu yleisellä yhtälöllä ax + by + c = 0, ja normaalivektoriin (a, b), joka on kohtisuorassa tätä suoraa vastaan. Mutta odotapa! Edellisen ominaisuuden perusteella tiedämme, että vektoreiden (−b, a) ja (b, −a) pistetulo normaalivektorin kanssa on nolla, joten vektoreiden (−b, a) ja (b, −a) täytyy olla kohtisuorassa normaalivektoria vastaan! Ja koska normaalivektori on kohtisuorassa suoraa vastaan, normaalivektoria vastaan kohtisuoran vektorin täytyy olla yhdensuuntainen alkuperäisen suoran p kanssa! Aivan huikeaa!

Voimme piirtää kuvaan vektorit ${\overline{v}}_1=(-b,a)$ ja ${\overline{v}}_2=(b,-a)$. Suoran yleinen yhtälö on −2x + y − 1 = 0, joten sijoittamalla saamme vihreät vektorit ${\overline{v}}_1=(-1,-2)$ ja ${\overline{v}}_2=(1,2)$:

Suoran yleisen yhtälön määrittäminen normaalivektorin ja pisteen avulla

Tiedämme jo, että suoran yleisen yhtälön voi melko helposti ilmaista parametriyhtälöstä. Jos tunnemme normaalivektorin $\overline{n}$, voimme myös määrittää yleisen yhtälön helposti. Olkoon siis piste A = (5, 13), jonka kautta suora p kulkee, ja sen normaalivektori $\overline{n}=(4,-6)$. Suoran p yleinen yhtälö on ax + by + c = 0, ja normaalivektorin määritelmästä voimme heti päätellä kertoimet a, b, jotka ovat a = 4, b = −6, eli normaalivektorin koordinaatit. Suoran yleinen yhtälö on muotoa

$$4x-6y+c=0$$

Jäljelle jää laskea kerroin c. Tämän suoraa p kuvaavan yhtälön täytyy päteä kaikille pisteille, jotka ovat suoralla p. Se tarkoittaa, että kun x:n ja y:n paikalle sijoitetaan suoralla p olevan pisteen koordinaatit, yhtälön täytyy päteä. Riittää siis sijoittaa piste A, jonka kautta suora p varmasti kulkee. Pisteen A koordinaatit ovat A = (5, 13), joten yhtälöön 4x − 6y + c = 0 sijoitetaan x = 5, y = 13:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

Suoran p koko yleinen yhtälö on siis

$$4x-6y+58=0.$$

Suoran p kaksi suuntavektoria ovat ${\overline{u}}_1=(6,4)$ ja ${\overline{u}}_2=(-6,-4)$.