Normalvektor till en linje

Normalvektorn till en linje p är en vektor som är vinkelrät mot linjen p, och dess koordinater kommer från linjens ekvation på allmän form.

Motivation

Vi har en linje p som går genom punkterna A(0, 1), B(2, 5). Linjen är grafen till funktionen y = 2x + 1, så linjens ekvation på allmän form är −2x + y − 1 = 0. Figur:

Ekvationen på allmän form har formen ax + by + c = 0, så för ekvationen −2x + y − 1 = 0 gäller a = −2, b = 1, c = −1. Vilken geometrisk betydelse har parametrarna a, b? Vi ritar för skojs skull in vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(a,b)$ i figuren, det vill säga vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-2,1)$:

Vi ser ganska tydligt att vektorn är vinkelrät mot linjen p. Det är ingen slump: om vi tar en godtycklig ekvation på allmän form ax + by + c = 0, så är vektorn (a, b) vinkelrät mot den linjen. En sådan vektor kallar vi normalvektor till linjen p.

Egenskaper hos normalvektorn

Av egenskaperna hos skalärprodukten vet vi att skalärprodukten av två vektorer är noll om och endast om vektorerna är vinkelräta mot varandra. Eftersom riktningsvektorn till linjen p är parallell med linjen p, betyder det att varje riktningsvektor till linjen p är vinkelrät mot normalvektorn. Om vi beräknar riktningsvektorn ur sträckan $\overrightarrow{AB}$ får vi vektorn

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=B-A=(2,5)-(0,1)=(2,4)$$

Inritat i figuren:

Om vi leker lite med skalärprodukten av två vektorer, som vi påminner om är definierad som

$$(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

så upptäcker vi att för reella tal a, b blir skalärprodukten av vektorerna (a, b) och (−b, a), och av vektorerna (a, b) och (b, −a), alltid noll:

$$\begin{array}{rcl}(a,b)\cdot (-b,a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a,b)\cdot (b,-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

Nu går vi tillbaka till linjen p given av ekvationen ax + by + c = 0 och normalvektorn (a,b), som är vinkelrät mot linjen. Men vänta! Tack vare egenskapen ovan vet vi att vektorerna (−b, a) och (b, −a) har skalärprodukten noll med normalvektorn, så vektorerna (−b, a) och (b, −a) måste vara vinkelräta mot normalvektorn! Och eftersom normalvektorn är vinkelrät mot linjen, måste en vektor som är vinkelrät mot normalvektorn i sin tur vara parallell med den ursprungliga linjen p! Fantastiskt!

Vi kan rita in vektorerna ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-b,a)$ och ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(b,-a)$ i figuren. Linjen har ekvationen −2x + y − 1 = 0, så efter insättning får vi de gröna vektorerna ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-1,-2)$ och ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(1,2)$:

Bestämma ekvationen på allmän form ur en normalvektor och en punkt

Vi vet redan att vi ganska enkelt kan få fram linjens ekvation på allmän form ur parameterframställningen. Om vi känner normalvektorn $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ kan vi också bestämma ekvationen enkelt. Anta alltså att linjen p går genom punkten A(5, 13) och har normalvektorn $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(4,-6)$. Linjen p har ekvationen ax + by + c = 0, och av definitionen av normalvektor kan vi direkt bestämma koefficienterna a, b, som alltså är lika med normalvektorns koordinater: a = 4, b = −6. Linjens ekvation på allmän form har då formen

$$4x-6y+c=0$$

Det återstår att beräkna koefficienten c. Ekvationen som beskriver linjen p måste gälla för alla punkter som ligger på linjen p. Det betyder att när vi sätter in koordinaterna för en punkt på linjen p för x, y, så ska ekvationen stämma. Det räcker alltså att sätta in punkten A, som vi vet att linjen p går genom. Punkten A har koordinaterna A(5, 13), så i ekvationen 4x − 6y + c = 0 sätter vi in x = 5, y = 13:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

Hela ekvationen för linjen p på allmän form är alltså

$$4x-6y+58=0.$$

Två riktningsvektorer till linjen p är ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(6,4)$ och ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(-6,-4)$.