Κάθετο διάνυσμα ευθείας

Το κάθετο διάνυσμα της ευθείας ε είναι ένα διάνυσμα κάθετο στην ευθεία ε, και οι συντεταγμένες του προκύπτουν από τη γενική εξίσωση της ευθείας.

Κίνητρο

Έχουμε την ευθεία ε που διέρχεται από τα σημεία A(0, 1), B(2, 5). Η ευθεία είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + 1, οπότε η γενική εξίσωση της ευθείας είναι −2x + y − 1 = 0. Σχήμα:

$Ευθεία \varepsilon$

Η γενική εξίσωση έχει τη μορφή Ax + By + Γ= 0, και στην περίπτωσή μας, για την εξίσωση −2x + y − 1 = 0, ισχύει A = −2, B = 1, Γ= −1. Ποια γεωμετρική σημασία έχουν οι συντελεστές A, B; Ας σχεδιάσουμε στο σχήμα, έτσι για πλάκα, το διάνυσμα $\vec{u} = (A, B)$ , δηλαδή το διάνυσμα $\vec{u} = (- 2, 1)$ :

$Ευθεία \varepsilon με το διάνυσμα u⃗ = \left(-2, 1\right)$

Φαίνεται αρκετά καθαρά ότι αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στην ευθεία ε. Δεν είναι τυχαίο: αν πάρουμε οποιαδήποτε γενική εξίσωση ευθείας Ax + By + Γ= 0, το διάνυσμα (A, B) είναι κάθετο σε αυτή την ευθεία. Ένα τέτοιο διάνυσμα το λέμε κάθετο διάνυσμα της ευθείας ε.

Ιδιότητες του κάθετου διανύσματος

Από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων ξέρουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι μηδέν αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους. Επειδή το παράλληλο διάνυσμα της ευθείας ε είναι παράλληλο προς την ευθεία ε, κάθε παράλληλο διάνυσμα της ευθείας ε είναι κάθετο στο κάθετο διάνυσμα. Αν υπολογίσουμε ένα παράλληλο διάνυσμα από το τμήμα $\vec{A B}$ , παίρνουμε το διάνυσμα

$\vec{v} = B - A = (2, 5) - (0, 1) = (2, 4)$

Σχεδιασμένο στο σχήμα:

Το κάθετο διάνυσμα u⃗ είναι κάθετο στο παράλληλο διάνυσμα v⃗

Αν πειραματιστούμε λίγο με το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, που για να το θυμόμαστε ορίζεται ως

$(u_{1}, u_{2}) \cdot (v_{1}, v_{2}) = u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2},$

θα δούμε ότι για τους πραγματικούς αριθμούς A, B το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων (A, B) και (−B, A), καθώς και των διανυσμάτων (A, B) και (B, −A), βγαίνει πάντα μηδέν:

$\begin{array}{rcl} (A, B) \cdot (- B, A) & = & A \cdot (- B) + B \cdot A = 0 \\ (A, B) \cdot (B, - A) & = & A \cdot B - B \cdot A = 0 \end{array}$

Ας γυρίσουμε τώρα στην ευθεία ε με γενική εξίσωση Ax + By + Γ= 0 και στο κάθετο διάνυσμα (A, B), που είναι κάθετο σε αυτή την ευθεία. Μισό λεπτό! Λόγω της προηγούμενης ιδιότητας ξέρουμε ότι τα διανύσματα (−B, A) και (B, −A) έχουν με το κάθετο διάνυσμα μηδενικό εσωτερικό γινόμενο, άρα τα διανύσματα (−B, A) και (B, −A) πρέπει να είναι κάθετα στο κάθετο διάνυσμα! Και αφού το κάθετο διάνυσμα είναι κάθετο στην ευθεία, ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτό πρέπει αντίστροφα να είναι παράλληλο προς την αρχική ευθεία ε! Τέλεια!

Μπορούμε να σχεδιάσουμε στο σχήμα τα διανύσματα ${\vec{v}}_{1} = (- B, A)$ και ${\vec{v}}_{2} = (B, - A)$ . Η ευθεία έχει γενική εξίσωση −2x + y − 1 = 0, οπότε μετά την αντικατάσταση έχουμε τα πράσινα διανύσματα ${\vec{v}}_{1} = (- 1, - 2)$ και ${\vec{v}}_{2} = (1, 2)$ :

Δύο νέα παράλληλα διανύσματα v⃗_1, v⃗_2

Προσδιορισμός της γενικής εξίσωσης ευθείας από κάθετο διάνυσμα και σημείο

Ήδη ξέρουμε ότι τη γενική εξίσωση της ευθείας μπορούμε να τη βρούμε σχετικά εύκολα από τις παραμετρικές εξισώσεις. Αν ξέρουμε το κάθετο διάνυσμα $\vec{n}$ , μπορούμε να προσδιορίσουμε τη γενική εξίσωση το ίδιο εύκολα. Έστω λοιπόν το σημείο A(5, 13), από το οποίο διέρχεται η ευθεία ε, και το κάθετο διάνυσμά της $\vec{n} = (4, - 6)$ . Η ευθεία ε έχει γενική εξίσωση Ax + By + Γ= 0, και από τον ορισμό του κάθετου διανύσματος μπορούμε αμέσως να βρούμε τους συντελεστές A, B, που είναι ίσοι με τις συντεταγμένες του κάθετου διανύσματος: A = 4, B = −6. Η γενική εξίσωση της ευθείας έχει τη μορφή

$4 x - 6 y + Γ = 0$

Μένει να υπολογίσουμε τον συντελεστή Γ. Η εξίσωση που περιγράφει την ευθεία ε πρέπει να ισχύει για όλα τα σημεία που βρίσκονται πάνω στην ευθεία ε. Αυτό σημαίνει ότι όταν αντικαταστήσουμε στα x, y τις συντεταγμένες ενός σημείου της ευθείας ε, η εξίσωση πρέπει να επαληθεύεται. Αρκεί λοιπόν να αντικαταστήσουμε το σημείο A, από το οποίο η ευθεία ε σίγουρα διέρχεται. Το σημείο A έχει συντεταγμένες A(5, 13), οπότε στην εξίσωση 4x − 6y + Γ= 0 αντικαθιστούμε x = 5, y = 13:

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot 5 - 6 \cdot 13 + Γ & = & 0 \\ 20 - 78 + Γ & = & 0 \\ Γ & = & 78 - 20 \\ Γ & = & 58 \end{array}$

Ολόκληρη η γενική εξίσωση της ευθείας ε έχει λοιπόν τη μορφή

$4 x - 6 y + 58 = 0.$

Δύο παράλληλα διανύσματα της ευθείας ε είναι τα ${\vec{u}}_{1} = (6, 4)$ και ${\vec{u}}_{2} = (- 6, - 4)$ .

Η ευθεία με τα πράσινα παράλληλα διανύσματά της u⃗_1, u⃗_2 και το μπλε κάθετο διάνυσμα n⃗

Κεφάλαια: Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας, Γενική εξίσωση ευθείας, Κάθετο διάνυσμα ευθείας, Εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης, Εξίσωση ευθείας στον χώρο

« Προηγούμενο: Γενική εξίσωση ευθείας

Επόμενο: Εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης »