Нормален вектор на права

Нормалният вектор на правата p е вектор, който е перпендикулярен на правата p и чиито координати се получават от общото уравнение на правата.

Мотивация

Имаме права p, която минава през точките A(0; 1), B(2; 5). Правата отговаря на графиката на функцията y = 2x + 1, така че общото уравнение на правата има вида −2x + y − 1 = 0. Чертеж:

Общото уравнение има общия вид ax + by + c = 0, в нашия случай за уравнението −2x + y − 1 = 0 е изпълнено a = −2, b = 1, c = −1. Какъв геометричен смисъл имат коефициентите a, b? Нека за забавление нанесем на чертежа вектор $\overrightarrow{u}(a;b)$, т.е. вектора $\overrightarrow{u}(-2;1)$:

Съвсем ясно се вижда, че този вектор е перпендикулярен на правата p. Това не е случайно – ако вземем коя да е права с общо уравнение ax + by + c = 0, векторът (a; b) ще е перпендикулярен на тази права. Такъв вектор наричаме нормален вектор на правата p.

Свойства на нормалния вектор

От свойствата на скаларното произведение на вектори знаем, че скаларното произведение на два вектора е нула тогава и само тогава, когато векторите са перпендикулярни. Тъй като насочващият вектор на правата p е успореден на правата p, това означава, че всеки насочващ вектор на правата p е перпендикулярен на нормалния вектор. Ако пресметнем насочващия вектор от отсечката $\overrightarrow{AB}$, получаваме вектора

$$\overrightarrow{v}=B-A=(2;5)-(0;1)=(2;4)$$

Нанесено на чертежа:

Ако се позабавляваме малко със скаларното произведение на два вектора, което за напомняне е определено като

$$(u_1;u_2)\cdot (v_1;v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

ще видим, че ако имаме реални числа a, b, то скаларното произведение на векторите (a; b) и (−b; a), както и на векторите (a; b) и (b; −a), винаги е нула:

$$\begin{array}{rcl}(a;b)\cdot (-b;a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a;b)\cdot (b;-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

А сега да се върнем към правата p, зададена с общото уравнение ax + by + c = 0, и към нормалния вектор (a; b), който е перпендикулярен на тази права. Но чакай! Благодарение на предишното свойство знаем, че векторите (−b; a) и (b; −a) имат нулево скаларно произведение с нормалния вектор, така че векторите (−b; a) и (b; −a) трябва да са перпендикулярни на нормалния вектор! А тъй като нормалният вектор е перпендикулярен на правата, векторът, перпендикулярен на този вектор, трябва пък да е успореден на първоначалната права p! Чудесно!

Можем да нанесем на чертежа векторите ${\overrightarrow{v}}_1(-b;a)$ и ${\overrightarrow{v}}_2(b;-a)$. Правата има общо уравнение −2x + y − 1 = 0, така че след заместване имаме зелените вектори ${\overrightarrow{v}}_1(-1;-2)$ и ${\overrightarrow{v}}_2(1;2)$:

Определяне на общото уравнение на права от нормален вектор и точка

Вече знаем, че общото уравнение на права можем сравнително лесно да изразим от параметричното уравнение. Ако знаем нормалния вектор $\overrightarrow{n}$, можем също лесно да определим общото уравнение. Нека имаме точка A(5; 13), през която минава правата p, и нейния нормален вектор $\overrightarrow{n}(4;-6)$. Правата p има общо уравнение ax + by + c = 0, като от определението на нормалния вектор веднага можем да определим коефициентите a, b, които са равни на a = 4, b = −6, т.е. на координатите на нормалния вектор. Общото уравнение на правата има вида

$$4x-6y+c=0$$

Остава ни да пресметнем коефициента c. Това уравнение, описващо правата p, трябва да е изпълнено за всички точки, които лежат на правата p. Това означава, че когато заместим x, y с координатите на точка, която лежи на правата p, уравнението трябва да е вярно. Достатъчно е да заместим координатите на точката A, през която правата p със сигурност минава. Точката A има координати A(5; 13), така че в уравнението 4x − 6y + c = 0 заместваме x = 5, y = 13:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

Цялото общо уравнение на правата p има вида

$$4x-6y+58=0.$$

Два насочващи вектора на правата p са ${\overrightarrow{u}}_1(6;4)$ и ${\overrightarrow{u}}_2(-6;-4)$.