Vettore normale di una retta

Il vettore normale di una retta r è un vettore perpendicolare alla retta r, le cui componenti derivano dall'equazione della retta in forma implicita.

Motivazione

Abbiamo una retta r che passa per i punti A(0; 1), B(2; 5). La retta corrisponde al grafico della funzione y = 2x + 1, quindi l'equazione della retta in forma implicita è −2x + y − 1 = 0. Figura:

L'equazione in forma implicita ha la forma generale ax + by + c = 0; nel nostro caso, per l'equazione −2x + y − 1 = 0 vale a = −2, b = 1, c = −1. Che significato geometrico hanno i parametri a, b? Proviamo, tanto per gioco, a disegnare nella figura il vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(a;b)$, cioè il vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-2;1)$:

Si vede abbastanza chiaramente che questo vettore è perpendicolare alla retta r. Non è un caso: per una qualsiasi equazione di una retta ax + by + c = 0, il vettore (a; b) sarebbe perpendicolare a questa retta. Un vettore del genere si chiama vettore normale della retta r.

Proprietà del vettore normale

Dalle proprietà del prodotto scalare di vettori sappiamo che il prodotto scalare di due vettori è nullo se e solo se i vettori sono perpendicolari. Poiché il vettore direttore della retta r è parallelo alla retta r, ogni vettore direttore della retta r è perpendicolare al vettore normale. Se calcoliamo il vettore direttore dal segmento $\overrightarrow{AB}$, otteniamo il vettore

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=B-A=(2;5)-(0;1)=(2;4)$$

Nella figura:

Se giochiamo un po' con il prodotto scalare di due vettori, che, ricordiamo, è definito come

$$(u_1;u_2)\cdot (v_1;v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

scopriamo che, dati i numeri reali a, b, il prodotto scalare dei vettori (a; b) e (−b; a) e quello dei vettori (a; b) e (b; −a) è sempre zero:

$$\begin{array}{rcl}(a;b)\cdot (-b;a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a;b)\cdot (b;-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

E ora torniamo alla retta r data dall'equazione ax + by + c = 0 e al vettore normale (a; b), perpendicolare a questa retta. Ma aspetta! Grazie alla proprietà precedente sappiamo che i vettori (−b; a) e (b; −a) hanno prodotto scalare nullo con il vettore normale, quindi i vettori (−b; a) e (b; −a) devono essere perpendicolari al vettore normale! E poiché il vettore normale è perpendicolare alla retta, un vettore perpendicolare a questo vettore deve essere invece parallelo alla retta r di partenza! Fantastico!

Possiamo disegnare nella figura i vettori ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-b;a)$ e ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(b;-a)$. La retta ha equazione in forma implicita −2x + y − 1 = 0, quindi, sostituendo, abbiamo i vettori verdi ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-1;-2)$ e ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(1;2)$:

Determinare l'equazione della retta da un vettore normale e un punto

Sappiamo già che l'equazione della retta in forma implicita si può ricavare abbastanza facilmente dalle equazioni parametriche. Se conosciamo il vettore normale $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, possiamo determinare l'equazione facilmente anche così. Consideriamo dunque il punto A(5; 13), per il quale passa la retta r, e il suo vettore normale $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(4;-6)$. La retta r ha equazione in forma implicita ax + by + c = 0 e, dalla definizione di vettore normale, possiamo subito determinare i coefficienti a, b, che valgono a = 4, b = −6, cioè alle componenti del vettore normale. L'equazione della retta ha la forma

$$4x-6y+c=0$$

Ci resta da calcolare il coefficiente c. Questa equazione, che descrive la retta r, deve essere verificata per tutti i punti che appartengono alla retta r. Ciò significa che, se al posto di x, y sostituiamo le coordinate di un punto della retta r, l'equazione deve essere verificata. Basta quindi sostituire le coordinate del punto A, per il quale la retta r passa di sicuro. Il punto A ha coordinate A(5; 13), quindi nell'equazione 4x − 6y + c = 0 sostituiamo x = 5, y = 13:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

L'equazione completa della retta r ha così la forma

$$4x-6y+58=0.$$

Due vettori direttori della retta r sono ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(6;4)$ e ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(-6;-4)$.