Vecteur normal à une droite

Le vecteur normal d'une droite p est un vecteur perpendiculaire à la droite p, dont les coordonnées se déduisent de l'équation cartésienne de la droite.

Motivation

Considérons une droite p qui passe par les points A(0 ; 1), B(2 ; 5). Cette droite correspond au graphe de la fonction y = 2x + 1, donc son équation cartésienne est −2x + y − 1 = 0. Figure :

Droite p

L'équation cartésienne a la forme générale ax + by + c = 0 ; dans notre cas, pour −2x + y − 1 = 0, on a a = −2, b = 1, c = −1. Quelle est la signification géométrique des paramètres a, b ? Dessinons, juste pour le plaisir, le vecteur $\vec{u} (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ , c'est-à-dire le vecteur $\vec{u} (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})$ :

$Droite p avec le vecteur \vec{\mathbf{u}}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

On voit assez nettement que ce vecteur est perpendiculaire à la droite p. Ce n'est pas un hasard : pour toute équation cartésienne ax + by + c = 0 d'une droite, le vecteur $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ est perpendiculaire à cette droite. On appelle un tel vecteur un vecteur normal à la droite p.

Propriétés du vecteur normal

D'après les propriétés du produit scalaire, le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux. Comme le vecteur directeur de la droite p est parallèle à p, tout vecteur directeur de p est orthogonal au vecteur normal. Si l'on calcule le vecteur directeur à partir du bipoint $\vec{A B}$ , on obtient :

$\vec{v} = B - A = (2; 5) - (0; 1) = (2; 4)$

Dans la figure :

$Le vecteur normal \vec{\mathbf{u}} est orthogonal au vecteur directeur \vec{\mathbf{v}}$

En jouant un peu avec le produit scalaire de deux vecteurs, défini pour rappel par

$(\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2},$

on constate que, pour des nombres réels a, b, le produit scalaire des vecteurs $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ et $(\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})$ , ainsi que celui des vecteurs $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ et $(\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ , est toujours nul :

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - b \\ a \end{array}) & = & a \cdot (- b) + b \cdot a = 0 \\ (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} b \\ - a \end{array}) & = & a \cdot b - b \cdot a = 0 \end{array}$

Revenons maintenant à la droite p d'équation cartésienne ax + by + c = 0 et à son vecteur normal $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ , qui lui est perpendiculaire. Mais attends ! Grâce à la propriété précédente, on sait que les vecteurs $(\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})$ et $(\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ ont avec le vecteur normal un produit scalaire nul, donc les vecteurs $(\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})$ et $(\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ doivent être orthogonaux au vecteur normal ! Et comme le vecteur normal est perpendiculaire à la droite, un vecteur orthogonal à celui-ci doit au contraire être parallèle à la droite d'origine p ! Génial !

On peut dessiner dans la figure les vecteurs ${\vec{v}}_{1} (\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})$ et ${\vec{v}}_{2} (\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ . La droite a pour équation cartésienne −2x + y − 1 = 0 ; après substitution, on obtient les vecteurs verts ${\vec{v}}_{1} (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \end{matrix})$ et ${\vec{v}}_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ :

$Deux nouveaux vecteurs directeurs \vec{\mathbf{v}}_1, \vec{\mathbf{v}}_2$

Détermination de l'équation cartésienne d'une droite à partir d'un vecteur normal et d'un point

Nous savons déjà qu'on peut assez facilement déduire l'équation cartésienne de la représentation paramétrique. Si l'on connaît le vecteur normal $\vec{n}$ , on peut aussi déterminer l'équation cartésienne très simplement. Considérons donc le point A(5 ; 13) par lequel passe la droite p, et son vecteur normal $\vec{n} (\begin{matrix} 4 \\ - 6 \end{matrix})$ . La droite p a l'équation cartésienne ax + by + c = 0. D'après la définition du vecteur normal, on peut immédiatement déterminer les coefficients a, b, qui valent a = 4, b = −6, c'est-à-dire les coordonnées du vecteur normal. L'équation a donc la forme

$4 x - 6 y + c = 0$

Il reste à calculer le coefficient c. Cette équation doit être vérifiée par tous les points de la droite p. Autrement dit, si l'on remplace x, y par les coordonnées d'un point de p, l'équation doit être vérifiée. Il suffit donc de substituer le point A, par lequel p passe certainement. Le point A a pour coordonnées A(5 ; 13) ; on remplace donc x = 5, y = 13 dans l'équation 4x − 6y + c = 0 :

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot 5 - 6 \cdot 13 + c & = & 0 \\ 20 - 78 + c & = & 0 \\ c & = & 78 - 20 \\ c & = & 58 \end{array}$

L'équation cartésienne complète de la droite p est donc

$4 x - 6 y + 58 = 0.$

Deux vecteurs directeurs de la droite p sont ${\vec{u}}_{1} (\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ et ${\vec{u}}_{2} (\begin{matrix} - 6 \\ - 4 \end{matrix})$ .

$Droite p avec ses vecteurs directeurs verts \vec{\mathbf{u}}_1, \vec{\mathbf{u}}_2 et le vecteur normal bleu \vec{\mathbf{n}}$

Chapitres: Représentation paramétrique de la droite, Équation cartésienne de la droite, Vecteur normal à une droite, Équation réduite de la droite, Équation de la droite dans l’espace

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