✖

Normaalvector van een lijn

De normaalvector van een lijn p is een vector die loodrecht op lijn p staat en waarvan de coördinaten volgen uit de algemene vergelijking van de lijn.

Motivatie

We hebben een lijn p die door de punten A(0, 1), B(2, 5) gaat. De lijn hoort bij de grafiek van de functie y = 2x + 1, dus de algemene vergelijking van de lijn is −2x + y = 1. Tekening:

Lijn p

De algemene vergelijking heeft de vorm ax + by = c, dus voor onze vergelijking −2x + y = 1 geldt a = −2, b = 1, c = 1. Welke meetkundige betekenis hebben de getallen a, b? Voor de grap tekenen we eens de vector u→=(ab) in de tekening, dus de vector u→=(−21):

Lijn p met de vector u⃗ = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}

We zien vrij duidelijk dat deze vector loodrecht op lijn p staat. Dat is geen toeval: als we een willekeurige algemene vergelijking van een lijn ax + by = c nemen, dan staat de vector (ab) loodrecht op die lijn. Zo'n vector noemen we een normaalvector van lijn p.

Eigenschappen van de normaalvector

Uit de eigenschappen van het inproduct van vectoren weten we dat het inproduct van twee vectoren nul is precies dan als de vectoren loodrecht op elkaar staan. Omdat de richtingsvector van de lijn p evenwijdig is aan lijn p, betekent dat dat elke richtingsvector van lijn p loodrecht op de normaalvector staat. Als we de richtingsvector berekenen uit lijnstuk AB→, krijgen we de vector

v→=B−A=(2,5)−(0,1)=(24)

In de tekening:

De normaalvector u⃗ staat loodrecht op de richtingsvector v⃗

Als we wat spelen met het inproduct van twee vectoren, dat ter herinnering gedefinieerd is als

(u1u2)⋅(v1v2)=u1⋅v1+u2⋅v2,

dan zien we dat voor reële getallen a, b het inproduct van de vectoren (ab) en (−ba) en van de vectoren (ab) en (b−a) altijd nul oplevert:

(ab)⋅(−ba)=a⋅(−b)+b⋅a=0(ab)⋅(b−a)=a⋅b−b⋅a=0

En nu gaan we terug naar lijn p die gegeven is door de algemene vergelijking ax + by = c en naar de normaalvector (ab), die loodrecht op deze lijn staat. Maar wacht even! Door de vorige eigenschap weten we dat de vectoren (−ba) en (b−a) met de normaalvector inproduct nul hebben, dus de vectoren (−ba) en (b−a) moeten loodrecht op de normaalvector staan! En omdat de normaalvector loodrecht op de lijn staat, moet een vector die loodrecht op deze vector staat juist evenwijdig zijn aan de oorspronkelijke lijn p! Gaaf!

We kunnen de vectoren v→1=(−ba) en v→2=(b−a) in de tekening zetten. De lijn heeft de algemene vergelijking −2x + y = 1, dus na invullen hebben we de groene vectoren v→1=(−1−2) en v→2=(12):

Twee nieuwe richtingsvectoren v⃗_1, v⃗_2

De algemene vergelijking van een lijn bepalen uit een normaalvector en een punt

We weten al dat we de algemene vergelijking van een lijn vrij gemakkelijk uit de parametervoorstelling kunnen vinden. Als we de normaalvector n→ kennen, kunnen we de algemene vergelijking ook gemakkelijk bepalen. Neem dus een punt A(5, 13) waar lijn p door gaat en haar normaalvector n→=(4−6). Lijn p heeft een algemene vergelijking ax + by = c, en uit de definitie van de normaalvector kunnen we meteen de coëfficiënten a, b bepalen, die dus gelijk zijn aan a = 4, b = −6, de coördinaten van de normaalvector. De algemene vergelijking heeft de vorm

4x−6y=c

We moeten nog de coëfficiënt c uitrekenen. Deze vergelijking, die lijn p beschrijft, moet gelden voor alle punten die op lijn p liggen. Dat betekent dat als we voor x, y de coördinaten invullen van een punt dat op lijn p ligt, de vergelijking moet kloppen. Het is dus genoeg om punt A in te vullen, waar lijn p zeker door gaat. Punt A heeft de coördinaten A(5, 13), dus in de vergelijking 4x − 6y = c vullen we x = 5, y = 13 in:

4⋅5−6⋅13=c20−78=cc=−58

De hele algemene vergelijking van lijn p heeft dus de vorm

4x−6y=−58.

Twee richtingsvectoren van lijn p zijn u→1=(64) en u→2=(−6−4).

De lijn met haar groene richtingsvectoren u⃗_1, u⃗_2 en de blauwe normaalvector n⃗

Hoofdstukken: Parametervoorstelling van een lijn, Algemene vergelijking van een lijn, Normaalvector van een lijn, Richtingscoëfficiënt van een lijn, Vergelijking van een lijn in de ruimte