Linjens normalvektor

Normalvektoren til linjen p er en vektor, som er vinkelret på linjen p, og dens koordinater fremgår af linjens ligning på formen ax + by + c = 0.

Motivation

Vi har linjen p, som går gennem punkterne A(0, 1), B(2, 5). Linjen svarer til grafen for funktionen y = 2x + 1, så linjens ligning på formen ax + by + c = 0 er −2x + y − 1 = 0. Figur:

Linjen p

Ligningen har den almene form ax + by + c = 0, så i vores tilfælde gælder for ligningen −2x + y − 1 = 0, at a = −2, b = 1, c = −1. Hvilken geometrisk betydning har parametrene a, b? Lad os for sjov tegne vektoren $\vec{u} = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ ind på figuren, dvs. vektoren $\vec{u} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})$ :

$Linjen p med vektoren \vec{\mathbf{u}} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Det ses ret tydeligt, at denne vektor er vinkelret på linjen p. Det er ikke tilfældigt: Hvis vi tog en hvilken som helst linjes ligning ax + by + c = 0, ville vektoren $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ være vinkelret på linjen. En sådan vektor kalder vi normalvektoren til linjen p.

Egenskaber ved normalvektoren

Af egenskaberne ved skalarproduktet af vektorer ved vi, at skalarproduktet af to vektorer er nul, netop når vektorerne er vinkelrette på hinanden. Da linjens retningsvektor er parallel med linjen p, betyder det, at enhver retningsvektor for linjen p er vinkelret på normalvektoren. Hvis vi beregner retningsvektoren ud fra linjestykket $\vec{A B}$ , får vi vektoren

$\vec{v} = B - A = (2, 5) - (0, 1) = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$

Tegnet ind på figuren:

$Normalvektoren \vec{\mathbf{u}} er vinkelret på retningsvektoren \vec{\mathbf{v}}$

Hvis vi leger lidt med skalarproduktet af to vektorer, som til påmindelse er defineret som

$(\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2},$

finder vi ud af, at hvis vi har reelle tal a, b, så bliver skalarproduktet af vektorerne $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ og $(\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})$ og af vektorerne $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ og $(\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ altid nul:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - b \\ a \end{array}) & = & a \cdot (- b) + b \cdot a = 0 \\ (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} b \\ - a \end{array}) & = & a \cdot b - b \cdot a = 0 \end{array}$

Og nu vender vi tilbage til linjen p givet ved ligningen ax + by + c = 0 og til normalvektoren $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ , som er vinkelret på linjen. Men vent lidt! Ifølge den foregående egenskab ved vi jo, at vektorerne $(\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})$ og $(\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ har skalarprodukt nul med normalvektoren, så vektorerne $(\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})$ og $(\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ må være vinkelrette på normalvektoren! Og da normalvektoren er vinkelret på linjen, må en vektor, der er vinkelret på denne vektor, omvendt være parallel med den oprindelige linje p! Fedt!

Vi kan tegne vektorerne ${\vec{v}}_{1} = (\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})$ og ${\vec{v}}_{2} = (\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ ind på figuren. Linjen har ligningen −2x + y − 1 = 0, så efter indsættelse har vi de grønne vektorer ${\vec{v}}_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \end{matrix})$ og ${\vec{v}}_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ :

$To nye retningsvektorer \vec{\mathbf{v}}_1, \vec{\mathbf{v}}_2$

Bestemmelse af linjens ligning ud fra normalvektoren og et punkt

Vi ved allerede, at vi ret nemt kan udtrykke linjens ligning ud fra parameterfremstillingen. Hvis vi kender normalvektoren $\vec{n}$ , kan vi også nemt bestemme linjens ligning. Lad os altså tage punktet A(5, 13), som linjen p går gennem, og dens normalvektor $\vec{n} = (\begin{matrix} 4 \\ - 6 \end{matrix})$ . Linjen p har ligningen ax + by + c = 0, og ud fra definitionen af normalvektoren kan vi straks bestemme koefficienterne a, b, som er a = 4, b = −6, dvs. koordinaterne til normalvektoren. Linjens ligning har formen

$4 x - 6 y + c = 0$

Vi mangler at regne koefficienten c ud. Denne ligning, som beskriver linjen p, skal gælde for alle punkter, der ligger på linjen p. Det betyder, at når vi indsætter koordinaterne til et punkt, der ligger på linjen p, for x, y, skal ligningen gælde. Det er nok at indsætte punktet A, som linjen p med sikkerhed går gennem. Punktet A har koordinaterne A(5, 13), så i ligningen 4x − 6y + c = 0 indsætter vi x = 5, y = 13:

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot 5 - 6 \cdot 13 + c & = & 0 \\ 20 - 78 + c & = & 0 \\ c & = & 78 - 20 \\ c & = & 58 \end{array}$

Hele ligningen for linjen p har altså formen

$4 x - 6 y + 58 = 0.$

To retningsvektorer for linjen p er ${\vec{u}}_{1} = (\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ og ${\vec{u}}_{2} = (\begin{matrix} - 6 \\ - 4 \end{matrix})$ .

$Linjen og dens grønne retningsvektorer \vec{\mathbf{u}}_1, \vec{\mathbf{u}}_2 og den blå normalvektor \vec{\mathbf{n}}$

Kapitler: Linjens parameterfremstilling, Linjens ligning på formen ax + by + c = 0, Linjens normalvektor, Linjens ligning y = ax + b, Linjens parameterfremstilling i rummet

« Forrige: Linjens ligning på formen ax + by + c = 0

Næste: Linjens ligning y = ax + b »