Az egyenes normálvektora

A p egyenes normálvektora olyan vektor, amely merőleges a p egyenesre, és koordinátái az egyenes általános egyenletéből adódnak.

Motiváció

Adott a p egyenes, amely átmegy az A(0; 1) és B(2; 5) ponton. Az egyenes az y = 2x + 1 függvény grafikonja, ezért az egyenes általános egyenlete −2x + y − 1 = 0 alakú. Az ábrán:

Az általános egyenlet alakja ax + by + c = 0, a mi esetünkben tehát a −2x + y − 1 = 0 egyenletre a = −2, b = 1, c = −1 teljesül. Milyen geometriai jelentése van az a, b paramétereknek? Rajzoljuk be az ábrába csak úgy, a játék kedvéért az $\overrightarrow{u}(a;b)$ vektort, azaz az $\overrightarrow{u}(-2;1)$ vektort:

Elég jól látjuk, hogy ez a vektor merőleges a p egyenesre. Ez nem véletlen: ha bármilyen ax + by + c = 0 általános egyenletű egyenest vennénk, az (a; b) vektor merőleges lenne erre az egyenesre. Az ilyen vektort a p egyenes normálvektorának nevezzük.

A normálvektor tulajdonságai

A vektorok skaláris szorzatának tulajdonságaiból tudjuk, hogy két vektor skaláris szorzata pontosan akkor nulla, ha a vektorok merőlegesek egymásra. Mivel a p egyenes irányvektora párhuzamos a p egyenessel, ez azt jelenti, hogy a p egyenes bármelyik irányvektora merőleges a normálvektorra. Ha az $\overrightarrow{AB}$ szakaszból kiszámítjuk az irányvektort, a következő vektort kapjuk:

$$\overrightarrow{v}=B-A=(2;5)-(0;1)=(2;4)$$

Az ábrán:

Ha egy kicsit játszunk két vektor skaláris szorzatával, amelyet emlékeztetőül így definiáltunk:

$$(u_1;u_2)\cdot (v_1;v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

akkor azt találjuk, hogy ha a, b valós számok, akkor az (a; b) és (−b; a) vektor, valamint az (a; b) és (b; −a) vektor skaláris szorzata mindig nulla:

$$\begin{array}{rcl}(a;b)\cdot (-b;a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a;b)\cdot (b;-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

Most pedig térjünk vissza az ax + by + c = 0 általános egyenletű p egyeneshez és az erre merőleges (a; b) normálvektorhoz. De várjunk csak! Az előző tulajdonság miatt tudjuk, hogy a (−b; a) és a (b; −a) vektor skaláris szorzata a normálvektorral nulla, tehát a (−b; a) és a (b; −a) vektor merőleges a normálvektorra! És mivel a normálvektor merőleges az egyenesre, az erre a vektorra merőleges vektornak éppen párhuzamosnak kell lennie az eredeti p egyenessel! Ez király!

Berajzolhatjuk az ábrába a ${\overrightarrow{v}}_1(-b;a)$ és ${\overrightarrow{v}}_2(b;-a)$ vektort. Az egyenes általános egyenlete −2x + y − 1 = 0, ezért behelyettesítés után a zöld vektorok ${\overrightarrow{v}}_1(-1;-2)$ és ${\overrightarrow{v}}_2(1;2)$:

Az egyenes általános egyenletének meghatározása normálvektorból és pontból

Már tudjuk, hogy az egyenes általános egyenletét elég könnyen felírhatjuk a paraméteres egyenletből. Ha ismerjük az $\overrightarrow{n}$ normálvektort, az általános egyenletet is egyszerűen meghatározhatjuk. Legyen tehát adott az A(5; 13) pont, amelyen a p egyenes átmegy, és az egyenes $\overrightarrow{n}(4;-6)$ normálvektora. A p egyenes általános egyenlete ax + by + c = 0, a normálvektor definíciójából pedig rögtön meghatározhatjuk az a, b együtthatókat, amelyek egyenlők a normálvektor koordinátáival: a = 4, b = −6. Az egyenes általános egyenlete tehát

$$4x-6y+c=0$$

Már csak a c együtthatót kell kiszámítanunk. Ennek a p egyenest leíró egyenletnek igaznak kell lennie az egyenes minden pontjára. Ez azt jelenti, hogy ha x, y helyére egy olyan pont koordinátáit helyettesítjük, amely rajta van a p egyenesen, az egyenletnek igaznak kell lennie. Elég tehát az A pontot behelyettesíteni, amelyen a p egyenes biztosan átmegy. Az A pont koordinátái A(5; 13), ezért a 4x − 6y + c = 0 egyenletbe az x = 5, y = 13 értékeket helyettesítjük:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

A p egyenes teljes általános egyenlete tehát

$$4x-6y+58=0.$$

A p egyenes két irányvektora ${\overrightarrow{u}}_1(6;4)$ és ${\overrightarrow{u}}_2(-6;-4)$.