Doğrunun Normal Vektörü

p doğrusunun normal vektörü, p doğrusuna dik olan bir vektördür; koordinatları doğrunun genel denkleminden okunur.

Motivasyon

A(0, 1), B(2, 5) noktalarından geçen bir p doğrusu verilsin. Bu doğru y = 2x + 1 fonksiyonunun grafiğidir, dolayısıyla doğrunun genel denklemi −2x + y − 1 = 0 biçimindedir. Şekil:

Genel denklemin biçimi ax + by + c = 0 olduğuna göre bizim −2x + y − 1 = 0 denklemimizde a = −2, b = 1, c = −1 olur. a, b katsayılarının geometrik anlamı nedir? Eğlence olsun diye şekle $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(a,b)$ vektörünü, yani $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-2,1)$ vektörünü çizelim:

Bu vektörün p doğrusuna dik olduğu oldukça net görünüyor. Bu bir tesadüf değil: herhangi bir ax + by + c = 0 genel denklemini alırsak (a, b) vektörü bu doğruya diktir. Böyle bir vektöre p doğrusunun normal vektörü denir.

Normal Vektörün Özellikleri

Vektörlerin skaler çarpımının özelliklerinden biliyoruz ki iki vektörün skaler çarpımı, ancak ve ancak vektörler birbirine dik olduğunda sıfırdır. p doğrusunun yön vektörü p doğrusuna paralel olduğundan, p doğrusunun her yön vektörü normal vektöre diktir. $\overrightarrow{AB}$ doğru parçasından yön vektörünü hesaplarsak

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=B-A=(2,5)-(0,1)=(2,4)$$

vektörünü buluruz. Şekilde gösterilmiş hali:

Hatırlatalım, iki vektörün skaler çarpımı şöyle tanımlanır:

$$(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

bu çarpımla biraz oynarsak şunu görürüz: a, b gerçek sayıları için (a, b) ile (−b, a) vektörlerinin skaler çarpımı ve (a, b) ile (b, −a) vektörlerinin skaler çarpımı her zaman sıfır çıkar:

$$\begin{array}{rcl}(a,b)\cdot (-b,a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a,b)\cdot (b,-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

Şimdi ax + by + c = 0 genel denklemiyle verilen p doğrusuna ve bu doğruya dik olan (a,b) normal vektörüne dönelim. Dur bir dakika! Önceki özellik sayesinde biliyoruz ki (−b, a) ve (b, −a) vektörlerinin normal vektörle skaler çarpımı sıfırdır; yani (−b, a) ve (b, −a) vektörleri normal vektöre dik olmalı! Normal vektör doğruya dik olduğuna göre, normal vektöre dik olan bir vektör de p doğrusuna paralel olmalıdır! Harika!

Şekle ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-b,a)$ ve ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(b,-a)$ vektörlerini çizebiliriz. Doğrunun genel denklemi −2x + y − 1 = 0 olduğuna göre yerine yazınca yeşil renkli ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-1,-2)$ ve ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(1,2)$ vektörlerini buluruz:

Normal Vektör ve Noktadan Genel Denklemi Bulma

Doğrunun genel denklemini parametrik denklemden kolayca yazabildiğimizi zaten biliyoruz. $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ normal vektörünü biliyorsak genel denklemi yine kolayca bulabiliriz. p doğrusunun geçtiği A(5, 13) noktası ve normal vektörü $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(4,-6)$ olsun. p doğrusunun genel denklemi ax + by + c = 0 biçimindedir. Normal vektörün tanımından a, b katsayılarını hemen bulabiliriz; bunlar normal vektörün koordinatlarına eşittir: a = 4, b = −6. Genel denklem şu biçimde olur:

$$4x-6y+c=0$$

Geriye c katsayısını hesaplamak kalıyor. p doğrusunu anlatan bu denklem, p doğrusu üzerindeki tüm noktalar için sağlanmalıdır. Yani x, y yerine p doğrusu üzerindeki bir noktanın koordinatlarını yazarsak denklem doğru olmalıdır. O hâlde p doğrusunun kesinlikle geçtiği A noktasını yazmak yeterlidir. A noktasının koordinatları A(5, 13) olduğuna göre 4x − 6y + c = 0 denkleminde x = 5, y = 13 yazarız:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

p doğrusunun genel denkleminin tamamı şöyledir:

$$4x-6y+58=0.$$

p doğrusunun iki yön vektörü ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(6,4)$ ve ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(-6,-4)$ vektörleridir.