Vectorul normal al dreptei

Vectorul normal al dreptei p este un vector perpendicular pe dreapta p, iar coordonatele lui rezultă din ecuația generală a dreptei.

Motivație

Avem dreapta p care trece prin punctele A(0, 1), B(2, 5). Dreapta este graficul funcției y = 2x + 1, deci ecuația generală a dreptei este −2x + y − 1 = 0. Figura:

Ecuația generală are forma ax + by + c = 0, deci pentru ecuația −2x + y − 1 = 0 avem a = −2, b = 1, c = −1. Ce înțeles geometric au coeficienții a, b? Să desenăm, doar așa, de curiozitate, în figură vectorul $\overrightarrow{u}(a,b)$, adică vectorul $\overrightarrow{u}(-2,1)$:

Se vede destul de clar că acest vector este perpendicular pe dreapta p. Nu este o întâmplare: dacă luăm orice ecuație generală a unei drepte ax + by + c = 0, vectorul (a, b) este perpendicular pe această dreaptă. Un astfel de vector se numește vectorul normal al dreptei p.

Proprietățile vectorului normal

Din proprietățile produsului scalar al vectorilor știm că produsul scalar a doi vectori este nul exact atunci când vectorii sunt perpendiculari. Deoarece vectorul director al dreptei p este paralel cu dreapta p, rezultă că orice vector director al dreptei p este perpendicular pe vectorul normal. Dacă aflăm vectorul director din segmentul $\overrightarrow{AB}$, obținem vectorul

$$\overrightarrow{v}=B-A=(2,5)-(0,1)=(2,4)$$

Desenat în figură:

Dacă ne jucăm puțin cu produsul scalar a doi vectori, care, ca să ne amintim, este definit prin

$$(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

aflăm că pentru numerele reale a, b, produsul scalar al vectorilor (a, b) și (−b, a), precum și al vectorilor (a, b) și (b, −a), este întotdeauna zero:

$$\begin{array}{rcl}(a,b)\cdot (-b,a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a,b)\cdot (b,-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

Și acum să ne întoarcem la dreapta p dată de ecuația generală ax + by + c = 0 și la vectorul normal (a,b), perpendicular pe această dreaptă. Stai puțin! Datorită proprietății precedente știm că vectorii (−b, a) și (b, −a) au cu vectorul normal produsul scalar nul, deci vectorii (−b, a) și (b, −a) trebuie să fie perpendiculari pe vectorul normal! Iar deoarece vectorul normal este perpendicular pe dreaptă, un vector perpendicular pe acest vector trebuie să fie, invers, paralel cu dreapta inițială p! Minunat!

Putem desena în figură vectorii ${\overrightarrow{v}}_1(-b,a)$ și ${\overrightarrow{v}}_2(b,-a)$. Dreapta are ecuația generală −2x + y − 1 = 0, deci după înlocuire avem vectorii verzi ${\overrightarrow{v}}_1(-1,-2)$ și ${\overrightarrow{v}}_2(1,2)$:

Determinarea ecuației generale a dreptei din vectorul normal și un punct

Știm deja că ecuația generală a dreptei se poate afla destul de ușor din ecuațiile parametrice. Dacă cunoaștem vectorul normal $\overrightarrow{n}$, putem afla ușor ecuația generală și așa. Să avem deci punctul A(5, 13) prin care trece dreapta p și vectorul ei normal $\overrightarrow{n}(4,-6)$. Dreapta p are ecuația generală ax + by + c = 0, iar din definiția vectorului normal putem determina imediat coeficienții a, b, care sunt egali cu a = 4, b = −6, adică cu coordonatele vectorului normal. Ecuația generală a dreptei are forma

$$4x-6y+c=0$$

Ne rămâne să aflăm coeficientul c. Această ecuație, care descrie dreapta p, trebuie să fie adevărată pentru toate punctele care se află pe dreapta p. Asta înseamnă că, dacă în locul lui x, y înlocuim coordonatele unui punct al dreptei p, ecuația trebuie să fie adevărată. Ne ajunge deci să înlocuim punctul A, prin care dreapta p trece cu siguranță. Punctul A are coordonatele A(5, 13), deci în ecuația 4x − 6y + c = 0 înlocuim x = 5, y = 13:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

Ecuația generală completă a dreptei p este deci

$$4x-6y+58=0.$$

Doi vectori directori ai dreptei p sunt ${\overrightarrow{u}}_1(6,4)$ și ${\overrightarrow{u}}_2(-6,-4)$.