Vetor normal de uma reta

O vetor normal de uma reta r é um vetor perpendicular à reta r, e suas coordenadas vêm da equação geral da reta.

Motivação

Temos uma reta r que passa pelos pontos A(0, 1), B(2, 5). A reta corresponde ao gráfico da função y = 2x + 1, de modo que a equação geral da reta tem a forma −2x + y − 1 = 0. Figura:

A equação geral tem a forma ax + by + c = 0, e no nosso caso, para a equação −2x + y − 1 = 0, vale a = −2, b = 1, c = −1. Qual é o significado geométrico dos parâmetros a, b? Vamos tentar, só de brincadeira, desenhar na figura o vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(a,b)$, isto é, o vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-2,1)$:

Vemos com bastante clareza que esse vetor é perpendicular à reta r. Não é por acaso: se tomássemos qualquer equação geral da reta ax + by + c = 0, o vetor (a, b) seria perpendicular a essa reta. Um vetor assim é chamado de vetor normal da reta r.

Propriedades do vetor normal

Pelas propriedades do produto escalar de vetores, sabemos que o produto escalar de dois vetores é nulo se, e somente se, os vetores são perpendiculares entre si. Como o vetor diretor da reta r é paralelo à reta r, isso significa que qualquer vetor diretor da reta r é perpendicular ao vetor normal. Se calculamos o vetor diretor a partir do segmento $\overrightarrow{AB}$, obtemos o vetor

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=B-A=(2,5)-(0,1)=(2,4)$$

Desenhado na figura:

Se brincarmos um pouco com o produto escalar de dois vetores, que, para lembrar, é definido como

$$(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

descobrimos que, se temos números reais a, b, o produto escalar dos vetores (a, b) e (−b, a) e dos vetores (a, b) e (b, −a) sempre dá zero:

$$\begin{array}{rcl}(a,b)\cdot (-b,a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a,b)\cdot (b,-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

E agora voltemos à reta r dada pela equação geral ax + by + c = 0 e ao vetor normal (a,b), que é perpendicular a essa reta. Mas espere! Pela propriedade anterior, sabemos que os vetores (−b, a) e (b, −a) têm produto escalar nulo com o vetor normal, e portanto os vetores (−b, a) e (b, −a) devem ser perpendiculares ao vetor normal! E, como o vetor normal é perpendicular à reta, um vetor perpendicular a esse vetor deve, ao contrário, ser paralelo à reta original r! Que legal!

Podemos desenhar na figura os vetores ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-b,a)$ e ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(b,-a)$. A reta tem equação geral −2x + y − 1 = 0, e, depois da substituição, temos os vetores verdes ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-1,-2)$ e ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(1,2)$:

Determinação da equação geral da reta a partir do vetor normal e de um ponto

Já sabemos que a equação geral da reta pode ser obtida com facilidade a partir da equação paramétrica. Se conhecemos o vetor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, também podemos determinar a equação geral com facilidade. Então, considere o ponto A(5, 13), pelo qual a reta r passa, e o vetor normal dela $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(4,-6)$. A reta r tem equação geral ax + by + c = 0, e, pela definição de vetor normal, já podemos determinar imediatamente os coeficientes a, b, que são iguais a a = 4, b = −6, isto é, às coordenadas do vetor normal. A equação geral da reta tem a forma

$$4x-6y+c=0$$

Falta calcular o coeficiente c. Essa equação que descreve a reta r deve valer para todos os pontos que pertencem à reta r. Isso significa que, quando substituímos x, y pelas coordenadas de um ponto da reta r, a equação deve ser verdadeira. Basta, então, substituir o ponto A, pelo qual a reta r certamente passa. O ponto A tem coordenadas A(5, 13), e por isso na equação 4x − 6y + c = 0 substituímos x = 5, y = 13:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

A equação geral completa da reta r tem, assim, a forma

$$4x-6y+58=0.$$

Dois vetores diretores da reta r são ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(6,4)$ e ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(-6,-4)$.