Normalvektoren til en linje

Normalvektoren til en linje p er en vektor som står vinkelrett på linjen p, og koordinatene til den følger av den generelle likningen for linjen.

Motivasjon

Vi har linjen p, som går gjennom punktene A(0, 1), B(2, 5). Linjen er grafen til funksjonen y = 2x + 1, så den generelle likningen for linjen er −2x + y − 1 = 0. Figur:

Likningen har den generelle formen ax + by + c = 0, og for likningen −2x + y − 1 = 0 gjelder altså a = −2, b = 1, c = −1. Hvilken geometrisk betydning har koeffisientene a, b? La oss for moro skyld tegne vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[a,b]$ inn på figuren, altså vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[-2,1]$:

Vi ser ganske tydelig at denne vektoren står vinkelrett på linjen p. Det er ikke tilfeldig. Hvis vi tar en hvilken som helst linje med likningen ax + by + c = 0, vil vektoren [a, b] stå vinkelrett på linjen. En slik vektor kaller vi normalvektoren til linjen p.

Egenskaper til normalvektoren

Fra egenskapene til skalarproduktet av vektorer vet vi at skalarproduktet av to vektorer er null hvis og bare hvis vektorene står vinkelrett på hverandre. Siden retningsvektoren til linjen p er parallell med linjen p, betyr det at enhver retningsvektor til linjen p står vinkelrett på normalvektoren. Hvis vi regner ut retningsvektoren fra linjestykket $\overrightarrow{AB}$, får vi vektoren

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=B-A=(2,5)-(0,1)=[2,4]$$

Tegnet inn på figuren:

Hvis vi leker litt med skalarproduktet av to vektorer, som til repetisjon er definert som

$$[u_1,u_2]\cdot [v_1,v_2]=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

finner vi at for reelle tall a, b blir skalarproduktet av vektorene [a, b] og [−b, a], og av vektorene [a, b] og [b, −a], alltid null:

$$\begin{array}{rcl}[a,b]\cdot [-b,a]& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ [a,b]\cdot [b,-a]& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

La oss nå gå tilbake til linjen p gitt ved likningen ax + by + c = 0 og normalvektoren [a, b], som står vinkelrett på linjen. Men vent! Fra egenskapen ovenfor vet vi at vektorene [−b, a] og [b, −a] har skalarprodukt null med normalvektoren, så vektorene [−b, a] og [b, −a] må stå vinkelrett på normalvektoren! Og siden normalvektoren står vinkelrett på linjen, må en vektor som står vinkelrett på denne vektoren, være parallell med den opprinnelige linjen p! Genialt!

Vi kan tegne inn vektorene ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=[-b,a]$ og ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=[b,-a]$ på figuren. Linjen har likningen −2x + y − 1 = 0, så når vi setter inn, får vi de grønne vektorene ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=[-1,-2]$ og ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=[1,2]$:

Den generelle likningen for en linje fra en normalvektor og et punkt

Vi vet allerede at vi ganske enkelt kan finne den generelle likningen for en linje fra parameterframstillingen. Hvis vi kjenner normalvektoren $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, kan vi også lett bestemme den generelle likningen. Anta at vi har punktet A(5, 13) som linjen p går gjennom, og normalvektoren $\overrightarrow{\mathbf{n}}=[4,-6]$. Linjen p har likningen ax + by + c = 0, og ut fra definisjonen av normalvektoren kan vi med en gang bestemme koeffisientene a, b, som er lik koordinatene til normalvektoren: a = 4, b = −6. Likningen for linjen har dermed formen

$$4x-6y+c=0$$

Vi mangler å regne ut koeffisienten c. Likningen som beskriver linjen p, må gjelde for alle punkter som ligger på linjen p. Det betyr at når vi setter inn koordinatene til et punkt på linjen p for x, y, må likningen stemme. Da holder det å sette inn punktet A, som linjen p sikkert går gjennom. Punktet A har koordinatene A(5, 13), så i likningen 4x − 6y + c = 0 setter vi inn x = 5, y = 13:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

Den generelle likningen for linjen p har dermed formen

$$4x-6y+58=0.$$

To retningsvektorer til linjen p er ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=[6,4]$ og ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=[-6,-4]$.