Gewinnwahrscheinlichkeit beim Eurojackpot

Der Eurojackpot ist eine Zahlenlotterie ähnlich dem Lotto 6 aus 49, an der mehrere europäische Länder beteiligt sind. Die garantierte Mindesthöhe des Eurojackpots beträgt zehn Millionen Euro, die maximal mögliche Höhe liegt bei 120 Millionen Euro. Die Regeln sind denen des Lottos 6 aus 49 ähnlich.

Regeln

Ziel der Lotterie ist es, fünf gezogene Zahlen aus 50 möglichen Zahlen zu erraten und dazu noch zwei weitere Zahlen aus 12 Zahlen, die Eurozahlen. Wenn du alle sieben gezogenen Zahlen errätst, darfst du dich auf den Hauptgewinn freuen, den Eurojackpot. Errätst du weniger Zahlen, darfst du dich über Gewinne in den weiteren Gewinnklassen freuen. Interessant ist, dass im Jahr 2015 jemand in Tschechien den Hauptgewinn im Eurojackpot gewonnen hat. Es handelte sich um einen Rekordgewinn von 2,466 Milliarden Kronen.

Gewinnwahrscheinlichkeit beim Eurojackpot

Welche Chance hast du aber auf den Gewinn? Wir beginnen damit, dass wir ausrechnen, wie viele Kombinationen überhaupt gezogen werden können. Wir wissen, dass keine Zahl zweimal gezogen werden kann und dass es nicht auf die Reihenfolge ankommt, in der die Zahlen gezogen wurden. Das sagt uns, dass wir für die Berechnung keine Variationen verwenden können, sondern Kombinationen verwenden müssen. Wir fragen also, wie viele verschiedene Fünferkombinationen aus den 50 möglichen Zahlen gezogen werden können. Wir schreiben das mit einem Binomialkoeffizienten so auf:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

Die Formel, mit der sich dieser Binomialkoeffizient berechnen lässt, sieht so aus:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

wobei das Ausrufezeichen die Fakultät bezeichnet. Wenn wir die Werte einsetzen, erhalten wir:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Wir nutzen die Eigenschaften der Fakultät und schreiben den Zähler aus:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Wir sehen, dass sowohl im Zähler als auch im Nenner 45! steht. Wir können also den ganzen Bruch genau durch 45! kürzen:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Wir schreiben 5! aus:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Wir multiplizieren alles aus:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

Und jetzt dividieren wir nur noch:

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

Es gibt also insgesamt 2.118.760 verschiedene Fünferkombinationen, die wir aus den fünfzig verschiedenen Zahlen ziehen können. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir genau eine gezogene Fünferkombination erraten, bezeichnen wir als P₁, und sie ist der Kehrwert, d. h.

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

Jetzt müssen wir ausrechnen, wie viele verschiedene Paare aus 12 Zahlen gezogen werden können, damit wir die Wahrscheinlichkeit berechnen können, dass wir auch die Eurozahlen treffen. Wir können das wieder als Binomialkoeffizient schreiben:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

Den Rechenweg überspringen wir diesmal und erhalten, dass

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Es gibt also 66 verschiedene Paare. Die Wahrscheinlichkeit P₂, dass wir das richtig gezogene Paar treffen, ist

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Die Gesamtwahrscheinlichkeit P für den Hauptgewinn im Eurojackpot erhalten wir, indem wir diese beiden Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

Die Chance, dass wir den Hauptgewinn im Eurojackpot gewinnen, beträgt 1 zu 139.838.160. Zur Veranschaulichung: In Tschechien leben etwas über zehn Millionen Menschen. Damit sicher jemand aus Tschechien gewinnt, müsste jeder Einwohner Tschechiens 13 verschiedene Lose kaufen. Nach der Ziehung wäre es dann sicher, dass ein Los aus Tschechien das Gewinnerlos ist.