Probabilidad de ganar en el Eurojackpot

El Eurojackpot es una lotería de números parecida a La Primitiva, en la que participan varios países europeos. El bote mínimo garantizado del Eurojackpot es de diez millones de euros y el máximo posible, de 120 millones de euros. Las reglas son similares a las de La Primitiva.

Reglas

El objetivo de la lotería es acertar cinco números extraídos de 50 posibles y, además, acertar otros dos números adicionales de entre 12. Si aciertas los siete números extraídos, puedes aspirar al premio mayor, el Eurojackpot. Si aciertas menos números, puedes aspirar a premios de categorías inferiores.

Probabilidad de ganar en el Eurojackpot

¿Pero qué posibilidades tienes de ganar? Empezamos calculando cuántas combinaciones posibles pueden salir en total. Sabemos que ningún número puede salir dos veces y que no importa el orden en que se hayan extraído los números. Esto nos dice que para el cálculo no podemos usar las variaciones, sino que debemos usar las combinaciones. Nos preguntamos, por tanto, cuántos grupos distintos de cinco números pueden salir de 50 posibles. Lo escribimos con el número combinatorio así:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

La fórmula con la que se calcula este número combinatorio es la siguiente:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

donde el signo de exclamación indica el factorial. Al sustituir los valores obtenemos:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Aprovechamos las propiedades del factorial y desarrollamos el numerador:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Vemos que tanto en el numerador como en el denominador tenemos 45!. Podemos, pues, simplificar toda la fracción precisamente por 45!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Desarrollamos 5!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Multiplicamos todo:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

Y ahora solo dividimos:

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

Existen, pues, en total 2.118.760 grupos distintos de cinco números que podemos sacar de cincuenta números distintos. La probabilidad de acertar exactamente un grupo de cinco números extraído, que denotaremos P₁, es el inverso, es decir,

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

Ahora tenemos que calcular cuántas parejas distintas se pueden sacar de 12 números, para poder calcular la probabilidad de acertar también los números adicionales. Podemos escribirlo de nuevo como número combinatorio:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

Esta vez nos saltamos el procedimiento, podemos usar una calculadora de números combinatorios, y obtenemos que

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Existen, pues, 66 parejas distintas. La probabilidad de acertar la pareja extraída, que denotaremos P₂, es

$$P_2=\frac{1}{66}$$

La probabilidad total P del premio mayor del Eurojackpot la obtenemos multiplicando estas dos probabilidades:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

La probabilidad de ganar el premio mayor del Eurojackpot es de 1 entre 139.838.160. Para hacernos una idea, en un país con algo más de diez millones de habitantes, para que fuera seguro que alguien ganara, cada habitante tendría que comprar 13 boletos únicos. Después del sorteo sería seguro que uno de esos boletos sería el ganador.