Kans op winst bij Eurojackpot

Eurojackpot is een getalloterij die lijkt op een loterij 6 uit 49 en waaraan verschillende Europese landen meedoen. De minimaal gegarandeerde hoogte van de Eurojackpot is tien miljoen euro, de maximaal mogelijke hoogte is 120 miljoen euro. De regels lijken op die van een loterij 6 uit 49.

Regels

Brandend geld

Het doel van de loterij is om vijf getrokken getallen uit 50 mogelijke getallen te raden en daarbovenop nog twee extra getallen, de euronummers, uit 12 getallen. Als je alle zeven getrokken getallen raadt, kun je rekenen op de hoofdprijs, de Eurojackpot. Raad je minder getallen, dan kun je rekenen op prijzen in een lagere categorie. Een bijzonderheid is dat in 2015 iemand in Tsjechië de hoofdprijs van de Eurojackpot won, een recordbedrag van 2,466 miljard Tsjechische kronen.

Kans op winst bij Eurojackpot

Maar hoe groot is je kans om te winnen? We beginnen met het berekenen van hoeveel combinaties er in totaal zijn die getrokken kunnen worden. We weten dat geen enkel getal twee keer getrokken kan worden en dat het niet uitmaakt in welke volgorde de getallen zijn getrokken. Dat zegt ons dat we voor de berekening geen variaties kunnen gebruiken, maar combinaties moeten gebruiken. We vragen ons dus af hoeveel verschillende vijftallen er uit de 50 mogelijke getallen getrokken kunnen worden. Dat schrijven we met een binomiaalcoëfficiënt zo op:

$(\binom{50}{5})$

De formule waarmee deze binomiaalcoëfficiënt kan worden berekend, ziet er zo uit:

$(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}$

waarbij het uitroepteken de faculteit aangeeft. Als we de waarden invullen, krijgen we:

$(\binom{50}{5}) = \frac{50!}{(50 - 5)! \cdot 5!} = \frac{50!}{45! \cdot 5!}$

We gebruiken de eigenschappen van de faculteit en schrijven de teller uit:

$\frac{50!}{45! \cdot 5!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45!}{45! \cdot 5!}$

We zien dat we zowel in de teller als in de noemer 45! hebben. We kunnen de hele breuk dus vereenvoudigen door 45! weg te delen:

$\frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45!}{45! \cdot 5!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{5!}$

We schrijven 5! uit:

$\frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45!}{45! \cdot 5!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}$

We vermenigvuldigen alles:

$\frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{254 251 200}{120}$

En nu delen we nog:

$\frac{254 251 200}{120} = 2 118 760$

Er zijn dus in totaal 2 118 760 verschillende vijftallen die we uit de vijftig verschillende getallen kunnen trekken. De kans dat we precies het getrokken vijftal raden, die we P₁ noemen, is het omgekeerde daarvan, dus

$P_{1} = \frac{1}{2 118 760}$

Nu moeten we berekenen hoeveel verschillende tweetallen er uit 12 getallen getrokken kunnen worden, zodat we de kans kunnen berekenen dat we ook de extra getallen raden. Dat kunnen we weer als binomiaalcoëfficiënt opschrijven:

$(\binom{12}{2})$

De berekening slaan we deze keer over. We kunnen de rekenmachine voor binomiaalcoëfficiënten gebruiken en vinden dat

$(\binom{12}{2}) = 66$

Er zijn dus 66 verschillende tweetallen. De kans, die we P₂ noemen, dat we het juiste getrokken tweetal raden, is

$P_{2} = \frac{1}{66}$

De totale kans P op de hoofdprijs van de Eurojackpot krijgen we door deze twee kansen met elkaar te vermenigvuldigen:

$P = P_{1} \cdot P_{2} = \frac{1}{2 118 760} \cdot \frac{1}{66} = \frac{1}{139 838 160}$

De kans dat we de hoofdprijs van de Eurojackpot winnen is 1 op 139 838 160. Ter illustratie: in Nederland wonen ruim 18 miljoen mensen. Om er zeker van te zijn dat iemand uit Nederland wint, zou elke inwoner van Nederland 8 unieke loten moeten kopen. Na de trekking zou het dan zeker zijn dat één lot uit Nederland het winnende is.

Hoofdstukken: Kans, Complementaire gebeurtenis, Binomiale verdeling, Voorwaardelijke kans, Kans op winst in een loterij 6 uit 49, Kans op winst bij Eurojackpot

« Vorige: Kans op winst in een loterij 6 uit 49

Volgende: Paradoxen »