Вероятност за печалба в Eurojackpot

Eurojackpot е числова лотария, подобна на тотото 6 от 49, в която участват няколко европейски държави (в България тя не се играе). Минималният гарантиран размер на Eurojackpot е десет милиона евро, а максималният възможен размер е 120 милиона евро. Правилата са подобни на тези на тотото 6 от 49.

Правила

Целта на лотарията е да познаеш пет изтеглени числа от 50 възможни и освен това да познаеш още две допълнителни числа от 12 числа. Ако познаеш всичките седем изтеглени числа, можеш да се радваш на основната печалба – Eurojackpot. Ако познаеш по-малко числа, можеш да се радваш на печалби от по-ниските разреди.

Вероятност за печалба в Eurojackpot

Какъв шанс обаче имаш да спечелиш? Започваме, като пресметнем колко са изобщо всички възможни комбинации, които могат да бъдат изтеглени. Знаем, че никое число не може да бъде изтеглено два пъти и че редът, в който са изтеглени числата, няма значение. Това ни казва, че за пресмятането не можем да използваме вариации, а трябва да използваме комбинации. Питаме се колко са различните петорки, които могат да бъдат изтеглени от 50 възможни числа. Записваме го с биномен коефициент така:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

Формулата, по която този биномен коефициент се пресмята, изглежда така:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

където удивителният знак означава факториел. Когато заместим стойностите, получаваме:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Ще използваме свойствата на факториела и ще разпишем числителя:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Виждаме, че и в числителя, и в знаменателя имаме 45!. Така можем да съкратим цялата дроб точно с 45!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Разписваме 5!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Всичко умножаваме:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

И сега вече само делим:

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

Така съществуват общо 2 118 760 различни петорки, които можем да изтеглим от петдесетте различни числа. Вероятността да познаем точно една изтеглена петорка, да я означим с P₁, е реципрочното число, т.е.

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

Сега трябва да пресметнем колко са различните двойки, които могат да бъдат изтеглени от 12 числа, за да можем да пресметнем вероятността да познаем и допълнителните числа. Можем отново да го запишем като биномен коефициент:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

Този път ще пропуснем пресмятането, можем да използваме калкулатора за биномни коефициенти, и ще установим, че

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Така има 66 различни двойки. Вероятността, да я означим с P₂, да познаем правилно изтеглената двойка, е

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Общата вероятност P за основната печалба в Eurojackpot получаваме, като умножим тези две вероятности:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

Шансът да спечелим основната печалба в Eurojackpot е 1 към 139 838 160. За илюстрация, в България живеят около шест и половина милиона души. За да е сигурно, че някой от България ще спечели, всеки жител на България би трябвало да купи около 22 уникални билета. След тегленето тогава би било сигурно, че един билет от България ще е печелившият.