Probabilité de gagner à l’Eurojackpot

L’Eurojackpot est une loterie à numéros semblable au loto 6 sur 49, à laquelle participent plusieurs pays européens. Le jackpot minimum garanti est de dix millions d’euros, et le montant maximum possible s’élève à 120 millions d’euros. Les règles sont proches de celles du loto 6 sur 49.

Règles

Argent en train de brûler

Le but de la loterie est de deviner cinq numéros tirés parmi 50 numéros possibles, et en plus deux numéros complémentaires parmi 12. Si tu devines les sept numéros tirés, tu peux espérer le gros lot, l’Eurojackpot. Si tu en devines moins, tu peux espérer des gains de rangs inférieurs. Fait intéressant : en 2015, quelqu’un en République tchèque a remporté le gros lot de l’Eurojackpot, un gain record de 90 millions d’euros (2,466 milliards de couronnes tchèques).

Probabilité de gagner à l’Eurojackpot

Quelle est ta chance de gagner ? Commençons par calculer le nombre total de combinaisons possibles qui peuvent être tirées. Nous savons qu’un numéro ne peut pas être tiré deux fois et que l’ordre de tirage n’a pas d’importance. Cela signifie qu’on ne peut pas utiliser les arrangements, mais qu’il faut utiliser les combinaisons. On cherche donc combien de quintuplets différents peuvent être tirés parmi 50 numéros possibles. On l’écrit à l’aide d’un coefficient binomial :

$(\binom{50}{5})$

La formule permettant de calculer ce coefficient binomial est :

$(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}$

où le point d’exclamation désigne la factorielle. En remplaçant les valeurs, on obtient :

$(\binom{50}{5}) = \frac{50!}{(50 - 5)! \cdot 5!} = \frac{50!}{45! \cdot 5!}$

Utilisons les propriétés de la factorielle et développons le numérateur :

$\frac{50!}{45! \cdot 5!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45!}{45! \cdot 5!}$

On voit que le numérateur et le dénominateur contiennent tous deux 45!. On peut donc simplifier la fraction par 45! :

$\frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45!}{45! \cdot 5!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{5!}$

Développons 5! :

$\frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45!}{45! \cdot 5!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}$

On multiplie tout :

$\frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{254 251 200}{120}$

Il ne reste plus qu’à diviser :

$\frac{254 251 200}{120} = 2 118 760$

Il existe donc au total 2 118 760 quintuplets différents qu’on peut tirer parmi cinquante numéros. La probabilité de deviner exactement le quintuplet tiré, notons-la P₁, est l’inverse de ce nombre, soit

$P_{1} = \frac{1}{2 118 760}$

Il faut maintenant calculer le nombre de paires différentes qui peuvent être tirées parmi 12 numéros, afin de calculer la probabilité de trouver aussi les numéros complémentaires. On peut à nouveau l’écrire sous forme de coefficient binomial :

$(\binom{12}{2})$

Cette fois, on saute le détail du calcul et on trouve que

$(\binom{12}{2}) = 66$

Il existe donc 66 paires différentes. La probabilité, notons-la P₂, de trouver la paire tirée correctement est

$P_{2} = \frac{1}{66}$

La probabilité totale P de gagner le gros lot de l’Eurojackpot s’obtient en multipliant ces deux probabilités :

$P = P_{1} \cdot P_{2} = \frac{1}{2 118 760} \cdot \frac{1}{66} = \frac{1}{139 838 160}$

La chance de gagner le gros lot de l’Eurojackpot est donc de 1 sur 139 838 160. À titre d’illustration, la République tchèque compte un peu plus de dix millions d’habitants. Pour être sûr que quelqu’un en République tchèque gagne, chaque habitant devrait acheter 13 billets uniques. Après le tirage, il serait alors certain qu’un des billets achetés en République tchèque serait le billet gagnant.

Chapitres: Probabilité, Événement contraire, Loi binomiale, Probabilité conditionnelle, Probabilité de gagner au loto 6 sur 49, Probabilité de gagner à l’Eurojackpot

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