Πιθανότητα να κερδίσεις στο Eurojackpot

Το Eurojackpot είναι μια λοταρία αριθμών παρόμοια με το Λόττο, στην οποία συμμετέχουν αρκετές ευρωπαϊκές χώρες. Το ελάχιστο εγγυημένο ποσό του Eurojackpot είναι δέκα εκατομμύρια ευρώ, ενώ το μέγιστο δυνατό ποσό είναι 120 εκατομμύρια ευρώ. Οι κανόνες είναι παρόμοιοι με του Λόττο.

Κανόνες

Στόχος της λοταρίας είναι να μαντέψεις πέντε αριθμούς που κληρώθηκαν από τους 50 δυνατούς και επιπλέον να μαντέψεις δύο ακόμα συμπληρωματικούς αριθμούς από τους 12. Αν μαντέψεις και τους επτά αριθμούς που κληρώθηκαν, κερδίζεις το πρώτο έπαθλο, το Eurojackpot. Αν μαντέψεις λιγότερους αριθμούς, μπορείς να κερδίσεις έπαθλα των επόμενων επιπέδων.

Πιθανότητα να κερδίσεις στο Eurojackpot

Ποια είναι όμως η πιθανότητά σου να κερδίσεις; Ξεκινάμε υπολογίζοντας πόσοι συνδυασμοί μπορούν να κληρωθούν συνολικά. Ξέρουμε ότι κανένας αριθμός δεν μπορεί να κληρωθεί δύο φορές και ότι δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία κληρώθηκαν οι αριθμοί. Αυτό μας λέει ότι δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διατάξεις, αλλά πρέπει να χρησιμοποιήσουμε συνδυασμούς. Ρωτάμε, δηλαδή, πόσες διαφορετικές πεντάδες μπορούν να κληρωθούν από τους 50 δυνατούς αριθμούς. Το γράφουμε με διωνυμικό συντελεστή ως εξής:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

Ο τύπος με τον οποίο υπολογίζεται αυτός ο διωνυμικός συντελεστής είναι:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\nu }{\kappa })=\frac{\nu !}{(\nu -\kappa )!\cdot \kappa !}$$

όπου το θαυμαστικό δηλώνει το παραγοντικό. Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές, παίρνουμε:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του παραγοντικού και αναπτύσσουμε τον αριθμητή:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Βλέπουμε ότι τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή έχουμε το 45!. Μπορούμε λοιπόν να απλοποιήσουμε ολόκληρο το κλάσμα ακριβώς με το 45!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Αναπτύσσουμε το 5!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Πολλαπλασιάζουμε τα πάντα:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

Και τώρα απομένει μόνο η διαίρεση:

$$\frac{254251200}{120}=2.118.760$$

Υπάρχουν λοιπόν συνολικά 2.118.760 διαφορετικές πεντάδες που μπορούμε να κληρώσουμε από πενήντα διαφορετικούς αριθμούς. Η πιθανότητα να μαντέψουμε ακριβώς τη μία πεντάδα που κληρώθηκε, ας τη συμβολίσουμε P₁, είναι ο αντίστροφος αριθμός, δηλαδή

$$P_1=\frac{1}{2.118.760}$$

Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε πόσα διαφορετικά ζευγάρια μπορούν να κληρωθούν από τους 12 αριθμούς, για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να βρούμε και τους συμπληρωματικούς αριθμούς. Μπορούμε πάλι να το γράψουμε ως διωνυμικό συντελεστή:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

Τη διαδικασία αυτή τη φορά θα την προσπεράσουμε και απλώς βρίσκουμε ότι

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Υπάρχουν λοιπόν 66 διαφορετικά ζευγάρια. Η πιθανότητα, ας τη συμβολίσουμε P₂, να βρούμε το σωστό ζευγάρι που κληρώθηκε είναι

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Τη συνολική πιθανότητα P για το πρώτο έπαθλο του Eurojackpot τη βρίσκουμε πολλαπλασιάζοντας αυτές τις δύο πιθανότητες:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2.118.760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139.838.160}$$

Η πιθανότητα να κερδίσουμε το πρώτο έπαθλο του Eurojackpot είναι 1 προς 139.838.160. Για να το καταλάβεις καλύτερα, στην Ελλάδα ζουν λίγο πάνω από δέκα εκατομμύρια άνθρωποι. Για να είναι βέβαιο ότι κάποιος από την Ελλάδα θα κερδίσει, θα έπρεπε κάθε κάτοικος της Ελλάδας να αγοράσει 14 μοναδικά δελτία. Μετά την κλήρωση θα ήταν βέβαιο ότι ένα δελτίο από την Ελλάδα θα είναι το νικητήριο.