Probabilitatea de a câștiga la Eurojackpot

Eurojackpot este o loterie numerică asemănătoare cu Loto 6/49, la care participă mai multe țări europene. Suma minimă garantată a Eurojackpotului este de zece milioane de euro, iar suma maximă posibilă este de 120 de milioane de euro. Regulile sunt asemănătoare cu cele de la Loto 6/49.

Regulile

Scopul loteriei este să ghicești cinci numere extrase din 50 de numere posibile și, în plus, să ghicești încă două numere suplimentare din 12 numere. Dacă ghicești toate cele șapte numere extrase, te poți bucura de marele premiu, Eurojackpot. Dacă ghicești mai puține numere, te poți bucura de câștiguri la categoriile următoare. O curiozitate este că în 2015 cineva din Republica Cehă a câștigat marele premiu Eurojackpot, un câștig record de 2,466 miliarde de coroane cehe, adică aproximativ 90 de milioane de euro.

Probabilitatea de a câștiga la Eurojackpot

Dar ce șanse ai de câștig? Începem prin a calcula câte combinări posibile pot fi extrase în total. Știm că niciun număr nu poate fi extras de două ori și că nu contează ordinea în care au fost extrase numerele. Aceasta ne spune că pentru calcul nu putem folosi aranjamentele, ci trebuie să folosim combinările. Ne întrebăm deci câte grupuri diferite de cinci numere pot fi extrase din 50 de numere posibile. Scriem asta cu ajutorul numărului de combinări astfel:

$$C_{50}^5$$

Formula cu care se poate calcula acest număr arată astfel:

$$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

unde semnul exclamării marchează factorialul. Dacă înlocuim valorile, obținem:

$$C_{50}^5=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Folosim proprietățile factorialului și desfacem numărătorul:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Vedem că atât la numărător, cât și la numitor avem 45!. Putem deci simplifica întreaga fracție chiar cu 45!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Desfacem 5!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Înmulțim totul:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254.251.200}{120}$$

Și acum doar împărțim:

$$\frac{254.251.200}{120}=2.118.760$$

Există deci în total 2.118.760 de grupuri diferite de cinci numere care pot fi extrase din cele cincizeci de numere. Probabilitatea să ghicim exact grupul de cinci numere extras, să o notăm P₁, este inversul, adică

$$P_1=\frac{1}{2.118.760}$$

Acum trebuie să calculăm câte perechi diferite pot fi extrase din 12 numere, ca să putem calcula probabilitatea să nimerim și numerele suplimentare. Putem scrie din nou ca număr de combinări:

$$C_{12}^2$$

De data aceasta sărim peste calcul, putem folosi calculatorul pentru numere de combinări și aflăm că

$$C_{12}^2=66$$

Există deci 66 de perechi diferite. Probabilitatea, să o notăm P₂, să nimerim corect perechea extrasă este

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Probabilitatea totală P de a câștiga marele premiu la Eurojackpot o obținem înmulțind aceste două probabilități:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2.118.760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139.838.160}$$

Șansa de a câștiga marele premiu la Eurojackpot este de 1 la 139.838.160. Pentru ilustrare, România are aproximativ 19 milioane de locuitori. Ca să fie sigur că cineva din România câștigă, fiecare locuitor al României ar trebui să joace 8 variante unice. După extragere ar fi atunci sigur că una dintre variantele din România va fi cea câștigătoare.