Sannolikheten att vinna på Eurojackpot

Eurojackpot är ett sifferlotteri som liknar lotto 6 av 49 och där flera europeiska länder deltar, bland annat Sverige. Den lägsta garanterade jackpotten är tio miljoner euro och den högsta möjliga är 120 miljoner euro. Reglerna liknar de för lotto 6 av 49.

Regler

Målet är att gissa fem dragna nummer av 50 möjliga och dessutom två extranummer av 12. Om du gissar alla sju dragna nummer kan du se fram emot högsta vinsten, Eurojackpot. Om du gissar färre nummer kan du vinna i lägre vinstklasser. Ett kuriosum är att någon i Tjeckien 2015 vann den högsta vinsten, en rekordvinst på 2,466 miljarder tjeckiska kronor.

Sannolikheten att vinna på Eurojackpot

Men hur stor är din chans att vinna? Vi börjar med att räkna ut hur många kombinationer som överhuvudtaget kan dras. Vi vet att inget nummer kan dras två gånger och att ordningen som numren dras i inte spelar någon roll. Det säger oss att vi inte kan använda variationer utan måste använda kombinationer. Vi frågar oss alltså hur många olika femtal som kan dras av 50 möjliga nummer. Vi skriver det med en binomialkoefficient, ”50 över 5”:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

Formeln för att beräkna binomialkoefficienten ser ut så här:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

där utropstecknet betyder fakultet. Sätter vi in värdena får vi:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{5!(50-5)!}=\frac{50!}{5!45!}$$

Vi använder fakultetens egenskaper och skriver ut täljaren:

$$\frac{50!}{5!45!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{5!45!}$$

Vi ser att vi har 45! både i täljaren och i nämnaren. Vi kan alltså förkorta hela bråket med just 45!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{5!45!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Vi skriver ut 5!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Vi multiplicerar ihop allt:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

Och nu återstår bara att dividera:

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

Det finns alltså sammanlagt 2 118 760 olika femtal som vi kan dra av femtio olika nummer. Sannolikheten att vi gissar just det dragna femtalet, vi kallar den P₁, är det inverterade värdet, det vill säga

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

Nu måste vi räkna ut hur många olika par som kan dras av 12 nummer, för att kunna beräkna sannolikheten att vi också träffar extranumren. Det kan vi återigen skriva som en binomialkoefficient:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

Uträkningen hoppar vi över den här gången – vi kan använda kalkylatorn för binomialkoefficienter och konstaterar att

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Det finns alltså 66 olika par. Sannolikheten att vi gissar det dragna paret rätt, vi kallar den P₂, är

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Den totala sannolikheten P för högsta vinsten på Eurojackpot får vi genom att multiplicera dessa två sannolikheter:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

Chansen att vinna högsta vinsten på Eurojackpot är 1 på 139 838 160. För att illustrera: i Sverige bor drygt tio miljoner människor. För att det skulle vara säkert att någon i Sverige vinner skulle varje invånare behöva köpa 14 unika lotter. Efter dragningen skulle det då vara säkert att en av lotterna från Sverige var vinnarlotten.