Voittotodennäköisyys Eurojackpotissa

Eurojackpot on lotto 6/49:n kaltainen numeroarvonta, johon osallistuu useita Euroopan maita, myös Suomi. Eurojackpotin vähimmäistakuu on kymmenen miljoonaa euroa ja suurin mahdollinen jättipotti 120 miljoonaa euroa. Säännöt ovat samankaltaiset kuin lotto 6/49:ssä.

Säännöt

Arpajaisten tavoitteena on arvata viisi arvottua lukua 50 mahdollisesta luvusta ja lisäksi arvata kaksi muuta lisälukua 12 luvusta. Jos arvaat kaikki seitsemän arvottua lukua, voit odottaa päävoittoa, Eurojackpotia. Jos arvaat vähemmän lukuja, voit odottaa voittoja seuraavissa voittoluokissa.

Voittotodennäköisyys Eurojackpotissa

Mutta kuinka suuri mahdollisuutesi voittaa on? Aloitamme laskemalla, kuinka monta kaikkiaan mahdollista kombinaatiota voidaan arpoa. Tiedämme, ettei mitään lukua voida arpoa kahdesti ja ettei sillä, missä järjestyksessä luvut arvottiin, ole väliä. Se kertoo meille, ettemme voi käyttää laskemiseen k-permutaatioita, vaan meidän on käytettävä kombinaatioita. Kysymme siis, kuinka monta erilaista viiden luvun joukkoa voidaan arpoa 50 mahdollisesta luvusta. Kirjoitamme sen binomikertoimena näin:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

Kaava, jolla tämän binomikertoimen voi laskea, on tällainen:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

missä huutomerkki tarkoittaa kertomaa. Kun sijoitamme arvot, saamme:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Hyödynnämme kertoman ominaisuuksia ja kirjoitamme osoittajan auki:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Näemme, että sekä osoittajassa että nimittäjässä on 45!. Voimme siis supistaa koko murtoluvun juuri luvulla 45!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Kirjoitamme 5!:n auki:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Kerrotaan kaikki:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

Ja nyt vain jaetaan:

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

Viidenkymmenen luvun joukosta voidaan siis arpoa yhteensä 2 118 760 erilaista viiden luvun joukkoa. Todennäköisyys, että arvaamme juuri arvotun viiden luvun joukon, merkitään sitä P₁, on käänteisluku eli

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

Nyt meidän on laskettava, kuinka monta erilaista paria voidaan arpoa 12 luvusta, jotta voimme laskea todennäköisyyden, että osumme myös lisälukuihin. Voimme taas kirjoittaa sen binomikertoimena:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

Laskun ohitamme tällä kertaa, voimme käyttää binomikertoimen laskinta, ja saamme

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Erilaisia pareja on siis 66. Todennäköisyys, merkitään sitä P₂, että osumme oikein arvottuun pariin, on

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Eurojackpotin päävoiton kokonaistodennäköisyyden P saamme kertomalla nämä kaksi todennäköisyyttä keskenään:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

Mahdollisuus voittaa Eurojackpotin päävoitto on 1 : 139 838 160. Havainnollistuksena: Suomessa asuu noin 5,6 miljoonaa ihmistä. Jotta olisi varmaa, että joku suomalainen voittaa, jokaisen suomalaisen pitäisi pelata 25 eri riviä, joita kukaan muu ei pelaa. Arvonnan jälkeen olisi sitten varmaa, että yksi suomalainen rivi on voittorivi.