Sannsynligheten for å vinne i Eurojackpot

Eurojackpot er et tallspill som ligner på lotto, og flere europeiske land er med i det. Den minste garanterte størrelsen på Eurojackpot er ti millioner euro, og den største mulige er 120 millioner euro. Reglene ligner på reglene i lotto 6 av 49.

Regler

Målet med spillet er å gjette fem trukne tall av 50 mulige og i tillegg to ekstra tall av 12 tall. Hvis du gjetter alle de sju trukne tallene, kan du glede deg til hovedgevinsten, Eurojackpot. Hvis du gjetter færre tall, kan du glede deg til gevinster i lavere gevinstklasser. Det er interessant at noen i 2015 vant hovedgevinsten i Eurojackpot i Tsjekkia, en rekordgevinst på 2,466 milliarder tsjekkiske kroner.

Sannsynligheten for å vinne i Eurojackpot

Men hvor stor sjanse har du for å vinne? Vi begynner med å regne ut hvor mange kombinasjoner som i det hele tatt kan trekkes. Vi vet at ingen tall kan trekkes to ganger, og at det ikke har noe å si i hvilken rekkefølge tallene ble trukket. Det forteller oss at vi ikke kan bruke ordnet utvalg, men må bruke kombinasjoner. Vi spør altså: Hvor mange ulike kombinasjoner av fem tall kan trekkes fra 50 mulige tall? Vi skriver det med en binomialkoeffisient slik:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

Formelen som binomialkoeffisienten kan regnes ut med, ser slik ut:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

der utropstegnet betyr fakultet. Når vi setter inn verdiene, får vi:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Vi bruker egenskapene til fakultet og skriver ut telleren:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Vi ser at vi har 45! både i telleren og i nevneren. Vi kan altså forkorte hele brøken med akkurat 45!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Vi skriver ut 5!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Vi multipliserer alt:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

Og nå deler vi bare:

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

Det finnes altså til sammen 2 118 760 ulike kombinasjoner av fem tall som kan trekkes fra femti ulike tall. Sannsynligheten for at vi gjetter akkurat den ene trukne kombinasjonen av fem tall, la oss kalle den P₁, er den inverse verdien, altså

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

Nå må vi regne ut hvor mange ulike par som kan trekkes fra 12 tall, for å kunne regne ut sannsynligheten for at vi også treffer de to ekstratallene. Det kan vi igjen skrive som en binomialkoeffisient:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

Denne gangen hopper vi over utregningen. Vi kan bruke kalkulatoren for binomialkoeffisienter, og finner at

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Det finnes altså 66 ulike par. Sannsynligheten, la oss kalle den P₂, for at vi treffer det riktig trukne paret, er

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Den totale sannsynligheten P for hovedgevinsten i Eurojackpot får vi ved å multiplisere disse to sannsynlighetene:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

Sjansen for at vi vinner hovedgevinsten i Eurojackpot, er 1 mot 139 838 160. For å gi et bilde: I Norge bor det omtrent fem og en halv million mennesker. For at det skulle være sikkert at noen i Norge vant, måtte hver eneste innbygger i Norge kjøpe 26 unike lodd. Etter trekningen ville det da være sikkert at ett lodd fra Norge var det vinnende.