Az Eurojackpot nyerési valószínűsége

Az Eurojackpot a Hatoslottóhoz hasonló számsorsjáték, amelyben több európai ország vesz részt. Az Eurojackpot garantált minimális összege tízmillió euró, a lehetséges maximum pedig 120 millió euró. A szabályok hasonlóak a Hatoslottóéhoz.

Szabályok

A játék célja, hogy az 50 lehetséges számból eltaláld az öt kihúzott számot, és ezen felül a 12 számból még két kiegészítő számot is. Ha mind a hét kihúzott számot eltalálod, jöhet a főnyeremény, az Eurojackpot. Ha kevesebb számot találsz el, a további nyereményosztályokban nyerhetsz. Érdekesség, hogy 2015-ben egy csehországi játékos nyerte meg az Eurojackpot főnyereményét, a rekordnak számító 2,466 milliárd cseh koronát.

Az Eurojackpot nyerési valószínűsége

De mekkora az esélyed a nyerésre? Először is kiszámoljuk, hogy egyáltalán hány különböző kombináció húzható ki. Tudjuk, hogy egy számot nem lehet kétszer kihúzni, és hogy nem számít a sorrend, amelyben a számokat kihúzták. Ez azt jelenti, hogy nem használhatunk variációt, hanem kombinációt kell használnunk. Azt kérdezzük tehát, hányféle ötös húzható ki az 50 lehetséges számból. Binomiális együtthatóval így írjuk fel:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

Ezt a binomiális együtthatót a következő képlettel lehet kiszámolni:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

ahol a felkiáltójel a faktoriálist jelöli. Ha behelyettesítjük az értékeket, ezt kapjuk:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Használjuk ki a faktoriális tulajdonságait, és fejtsük ki a számlálót:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Látjuk, hogy a számlálóban is és a nevezőben is ott van a 45!. A teljes törtet tehát egyszerűsíthetjük éppen 45!-sal:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Fejtsük ki az 5!-t:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Mindent összeszorzunk:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

És most már csak osztunk:

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

Összesen tehát 2 118 760 különböző ötös húzható ki az ötven különböző számból. Annak a valószínűsége, hogy éppen azt az egy kihúzott ötöst találjuk el – jelöljük P₁-gyel –, ennek reciproka, vagyis

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

Most ki kell számolnunk, hányféle számpár húzható ki a 12 számból, hogy kiszámolhassuk annak a valószínűségét, hogy a kiegészítő számokat is eltaláljuk. Ezt megint felírhatjuk binomiális együtthatóval:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

A számolást most átugorjuk, az eredmény:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Tehát 66 különböző számpár létezik. Annak a valószínűsége, jelöljük P₂-vel, hogy helyesen eltaláljuk a kihúzott számpárt:

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Az Eurojackpot főnyereményének teljes P valószínűségét úgy kapjuk, hogy ezt a két valószínűséget összeszorozzuk:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

Annak az esélye, hogy megnyerjük az Eurojackpot főnyereményét, 1 a 139 838 160-hoz. Szemléltetésként: Magyarországon valamivel kevesebb mint tízmillió ember él. Ahhoz, hogy biztos legyen, hogy valaki Magyarországról nyer, minden magyarországi lakosnak 15 egyedi szelvényt kellene vennie. A húzás után akkor biztos lenne, hogy az egyik magyarországi szelvény a nyertes.